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解答
(2) y=e'sinx に対して, y" =ay+by' となるような実数の定数 α, bの値を求
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式y"+2e-1=0を証明せよ。自
めよ。
指針
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本 73
第2次導関数y" を求めるには、まず導関数yを求める。また,(1),(2)の等式はとも
にの恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
またe-xで表すには,等式
を利用する。
(2)y', y” を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。 なお, 係数比較法を利用す
ることもできる。→解答編 p.94 の検討 参照。
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
y'=2..
1+cosx
<logM=klog M
2sinx
なお, -1≦cosx≦1 と
1+cosx
(真数)>0 から
. _ _2{cosx(1+cosx)-sinx(−sinx)}
よってy"=-
1+cosx>0
で表す。
(4)
[ 304S] ___ 2(1+cosx)
(1+cosx)
2
=--
==
(1+cos.x)+cos?
|sin2x+cos2x=1
|
また, 1/2=log(1+cosx) であるからex=1+cosx
2x-12
ゆえに
+2e-1/2=2
Þ
elog(1+0
1+cosx)=1+COS X
elog = を利用すると
2
e2
el
y
1+cosx
os 2),
2
2
よって
y"+2e-=-
+
=0
-4sin2xy
logo),
(logaif
tanx
Cost
(x) E
もの。
1+cosx 1+cosx
(2) y'=2e² sinx+e²x cos x=e²x (2 sin x+cosx)
,2x
y"=2e2x(2sinx+cosx)+e2x (2cosx-sinx(2x)(2sinx+cosx)
=e2x(3sinx+4cosx)
①
ゆえに ay+by'=ae2xsinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+2b)sinx+bcosx}
y" =ay+by に ① ② を代入して
e2x
......
(2)
| +e(2sinx+cosx)
Delet
[参考 (2) のy"=ay+by'
のように, 未知の関数の
導関数を含む等式を微分
方程式という(詳しくは
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
③
4=b
p.353 参照)。
③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して
また,x=を代入して
3e"=e" (a+26)
これを解いて
a=-5, 6=4
このとき
(③の右辺)
したがって
練習 (1)
a=-5, 6=4
[t]
式(x2+1)y"+xy'′ = 0 を証明せよ。
(
③が恒等式③に
π
x=0, を代入しても
成り立つ。
=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。
