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第5章 微分法
基礎問
11-11
59 微分可能性
関数f(z) を次のように定める.
log.x
f(x)={
I
(x≥1)
'+ax+b (x <1)
このとき 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ. ただし, lim
log (1+h)
-=1 は用いてよい。
h→0
h
精講
f(x) がx=αで微分可能とは, f' (a) が存在することを意味しま
すから,ここではf' (1) が存在することを示します.
定義によると lim
h→0
h
(1h)-f(1)=f(1) ですが,1+hと1の
小,すなわち, h0 とん<0 のときでf (1+h) の式が異なるので,h
ん→0 の2つの場合を考え,
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
-=lim
52 左側極限,
ん→+0
h
0-14
h
右側極限
が成りたてば
tmf(1+h)-f(1) が存在する
h→0
ことになり,目標達成です. これだけで a, b の値は求
められますが、ポイントにある性質と,連続の定義を利
使用してαともの式を1つ用意しておくと, ラクにα, b
の値を求められます。
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まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1)が成りたつ.
x-1
..
lim (x2+ax+b)=0
log1
==0
→1-0
1
よって, 1+a+b=0 ...... ①
このとき
ん→+0
lim ƒ(1+h)− ƒ(1) _
Elim 1/log(1+h)
h
→+ohl
-0
1+h
