56の解説の［2］から理解できません 不等式教えてください

68 ースタンⅠⅡABC 受 f(x)=0の判別式Dについて DO よって =(-0-1-150 7-1505'1 ゆえに,(a+1)e-1)50から 56 絶対値を含む不等式 私立大標準レベル 出題テーマと 絶対値を含む不等式が解をもつ条件 2次関数がとる最小値の値の範囲につい 分けして考える。 f(x)=xx+3 とすると f(x)=(x-2)+3 よって、f(x)の最小値をとすると (2)y=f(x)のグラフの軸は 直線I=ロ [1] のとき はOSIS2の左 外にあるから OS におけるf(x)の最小値は f(0)=1 よって、 f(x)>0を 満たす。 3-08-2 [2] のとき はO 2に含ま 解除しない。 f(α)=-a²+1 れるから OSxS2におけ f(x)の最小値は >となるための条件 すなわち -1<<1 2であるから は -a²+1>0 3-01-2 最小 m=-+3 [1] m > 1 すなわち 0a2√2 である。 +3>1 a+√4-16 57 連立 2 私立大 2 解答編 (問題A,B) 69 58 不等式の成立条件 出題テーマと考え方 8 不等式の種々の問題 +3>1 かつの 基本問題&解法のポイント 例題 8 1 21 連立不等式 x2+ax+b≧0, 4x²-8x-50 であ 2次不等式の解と係数 同値関係の利用。α<Bのとき る。このとき, a=,b=1である。 また x <a, B<x 指針 解答 このときf(x)>1であるから, \f(x)/S1を 実数xは存在しない。 [2] -1≧m≦1のとき、 2√2 MaS4である そのとき,y=f(x) のグラフが直線 y=1と効 点のx座標をα β (αβ) とすると,不等式 f(x)|≦1の解は,asxSBである。 なお るが、これ そのときの不等式の解x=αを表す。 よって, p=a, q=β とすれば, 不等式の解 0 Osex1 [3]のとき (3) はOSIS2の右 外にあるから, OS2 におけるf(x)の最小値は pxg と表される (2)=22-2a-2+1 [3] m-1 のとき, -最小 =5-4a f(x)>0 となるための条件 は 5-40>0 x=0x2 a4 である。 y= f(x) このとき,y=f(x) の 2 22 ✓ すべての実数xに対して、不等式 kx²+(k-1)x+k-2<0 が成り立つような 定数kの値の範囲を求めよ。 (2)不等式 x2(m-3)x+m²+2m+1<0 が 解をもつような整数の個数を求めよ。 ■ ■ a<x<B(x-a)(x-B) 0 (x+a)(x-B) > 0 2次式の定符号 f(x)=ax2+bx+c=0 (a≠0 ) の判別式をDとすると a, bts (1) す (2) す 絶対不等 (ア)グラ (1) bl たす D 4 常にf(x)>0, D≦0 常に f(x) <0a<0, D<0 (2) すなわち グラフが直線 y=1と 交わる点のx座標をα. β(a<β), 直線 y=-1 これは>2を満たさない。 と交わる点の座標を 以上から、求めるの値の範囲は a<"1 d, β (α' <β)とする Je (3) g(x)=x²-(2-1)x+a(a-1) =(x-ax(-1) 解探す と不等式]f(x)|≦1の解は,α≦x≦α B'SxSBである。 よって,g(x) 20 とすると 以上から 001 (x-(x-(-1)) ゆえに a-15sa y=f(x)のグラフの軸x=4 <a< 2/2 のとき 不等式の解は存在しない。 72√2 14 のとき, 不等式の解はある実数 によってxgと表される。 a4のとき xax+3=1 すなわち x-ax+2=0を解くと 2 はalSxe に含まれるか ら、a-lsxsaにおける f(x) の最小値は f(a)=-a²+1 1=0 最小 よって,f(x)>0 とすると -a²+1>0 → x=-1 = A すなわち −1 <a<*1 X軸と 関数がっつかないよう と 2-16 f(x)7 ( よって、このときの不等式の解は JEMAJ a-√√a-8 x2 -ax+3= -1 すなわちxax+40 を解く 2 Siga-√√a²-16 4 5 6 *55 αを定数とする。 実数xについての2つの関数f(x),g(x) を,それぞれ f(x)=x2-2ax+1,g(x)=x²- (2a-1)x+α²-aとする。 (1) すべての実数xについて, f(x) ≧0 が成立するようなαの値の範囲は □≦a≦である。 (20≦x≦2を満たすすべての実数xについて, f (x)>0 が成立するようなα の値の範囲は α< である。 g(x) 0 を満たすすべての実数xについて, f(x)>0 が成立するようなa [23 摂南大) の値の範囲は <a<である。 564を正の定数とし,不等式|x2ax+3|≦1 の解を実数の範囲で考える。 <a< のとき,この不等式の解は存在しない。sas この不等式の解はある実数p, q によって p≦x≦q と表される。 α とき、この不等式の解はである。 のとき, の [21 慶応大)

赤線の部分がなぜそのように言えるのか分からないので教えてください🙇🏻‍♀️

9 精講 2x+y 3 =2y+z_2z+πのとき,xiyi z を求めよ. 4 = 5 ただし, ryz≠0 とする. たくさんの“=” でつながっている式を 比例式といいますが、比 例式では,「=k」 とおいて式を分割し, 連立方程式の形にします。 解答 2.x+y_2y+z_2z+π=k とおくと, 3 4 5 | 2.x+y=3k... ① 2y+z=4k 2z+x=5k ・② ・③ ①+②+③ より 3(x+y+z)=12k : x+y+z=4 ...... ④ =が2つ以上入っていると 解きようがないので,「=」を1 つにするために「=k」 とおく. 2x+y2y+かつ なお, 3 2y+z 4 = 4 2z+πと式を分解 してもよい ② ④より, x=y だから, ①に代入して,r=y=k このとき②より z=2k xyz≠0より,k=0 だから, x:y: z=1:1:2 5 注 ①+②+③ を作る理由はx, y, zの係数に対称性があるから ですが,この設問に関しては,たとえば, 1×2 ② としてyを消去す るという手法でもかまいません。 ポイント 比例式は「k」とおいて連立方程式へ

(3)平方完成してるのかなと思ってるんですが、平方完成する基準？というかどこで平方完成をしようと判断するんですか？それと解説の式変形が初めからよくわかってません。

(3) { +262+c°)}-20(b+c) = {a-(b+c))+2(62+c2) - (b+c) =(a-(b+c))+(b-c)20 等号が成り立つのは a=b+c かつ b = c のとき であり、c> から, a=b+c かつ b = c を満たすα, b, c が存在する (例えば a=4, b=c=2). よって IIV

問題 どのような商品を通して、清はアジアやヨーロッパと結びついていたか、説明している本文に下線を引こう。 どこか教えていただきたいです🙇‍♀️

むか アジア諸国との 18世紀、 最盛期を迎えた清朝と周辺国との関係の いちばん栄えている 結びつき 清の 安定化を背景に、 清と東南アジア・インドとの間での 交易が発展し、 東アジアから南アジアに広域な海上交易ネットワークが形 こかつ という 10 成された。日本との交易は中国商人により長崎で行われ、清は枯渇した銀 ほぼよくない に代わって銅や海産物を輸入した。 また、 交易の発展と人口急増により、 けん p.19 かじん 清の人々の生活圏が海外に拡大し、東南アジアを中心に華人ネットワーク か きょう けいき が形成され、後の華僑社会形成の契機ともなった。ヨーロッパ諸国も、こ アジア~ヨーロッパp.72 きっかけ こうしゅう の海上交易ネットワークに参入し、 1757年に広州への入航が許された。 海の広いつながり p.24 5 ヨーロッパで東アジア製品が人気を集め、貿易額は増加した。 特にイギリ スへの茶の輸出は18世紀後半から急増し、 清の銀供給源となった。 中心 p.54 りゅうきゅう 一方で伝統的な冊封関係も続いた。 朝鮮・琉球は定期的に清に朝貢し、贈り 中国上、地下 日本 巻頭 15 ベトナムなど東南アジアの国々もたびたび朝貢使節を送っていた。 清は、 ちつじょ) これらの国々を冊封国とする一方、 互市貿易も組み合わせて運用し、東・ 国どうしが許可して行か 下の立場の巻頭 75 東南アジアで清を中心とする国際秩序を形成した。 国と国の関係の 清を中心とした 世

(2)で③の式から、両辺のsinxとcosxの係数をそれぞれ比較して、3=a+2b,4=b となり、これを解いて求めてはダメなのですか？

解答 (2) y=e'sinx に対して, y" =ay+by' となるような実数の定数 α, bの値を求 (1) y=log(1+cosx) のとき, 等式y"+2e-1=0を証明せよ。自 めよ。 指針 [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 73 第2次導関数y" を求めるには、まず導関数yを求める。また,(1),(2)の等式はとも にの恒等式である。 (1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 またe-xで表すには,等式 を利用する。 (2)y', y” を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。 なお, 係数比較法を利用す ることもできる。→解答編 p.94 の検討 参照。 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' y'=2.. 1+cosx <logM=klog M 2sinx なお, -1≦cosx≦1 と 1+cosx (真数)>0 から . _ _2{cosx(1+cosx)-sinx(−sinx)} よってy"=- 1+cosx>0 で表す。 (4) [ 304S] ___ 2(1+cosx) (1+cosx) 2 =-- == (1+cos.x)+cos? |sin2x+cos2x=1 | また, 1/2=log(1+cosx) であるからex=1+cosx 2x-12 ゆえに +2e-1/2=2 Þ elog(1+0 1+cosx)=1+COS X elog = を利用すると 2 e2 el y 1+cosx os 2), 2 2 よって y"+2e-=- + =0 -4sin2xy logo), (logaif tanx Cost (x) E もの。 1+cosx 1+cosx (2) y'=2e² sinx+e²x cos x=e²x (2 sin x+cosx) ,2x y"=2e2x(2sinx+cosx)+e2x (2cosx-sinx(2x)(2sinx+cosx) =e2x(3sinx+4cosx) ① ゆえに ay+by'=ae2xsinx+be2x(2sinx+cosx) =e2x{(a+2b)sinx+bcosx} y" =ay+by に ① ② を代入して e2x ...... (2) | +e(2sinx+cosx) Delet [参考 (2) のy"=ay+by' のように, 未知の関数の 導関数を含む等式を微分 方程式という(詳しくは (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ③ 4=b p.353 参照)。 ③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して また,x=を代入して 3e"=e" (a+26) これを解いて a=-5, 6=4 このとき (③の右辺) したがって 練習 (1) a=-5, 6=4 [t] 式(x2+1)y"+xy'′ = 0 を証明せよ。 ( ③が恒等式③に π x=0, を代入しても 成り立つ。 =e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。

この問題で、解答がこうなっているのですが、赤線の部分がどういうことかわかりません🙇🏻‍♀️

312 x, y, z は実数とする。 x2 > yz かつ y2 <xz ならば xキリであることを, 背理法を用いて証 明せよ。 x">かつぱくxZならば、そこまであると仮定する。

次のと不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような時か。という問題で、右辺を左辺に移行してくくるまで分かりますが、それ以降が分からないです。

(2)* a²-ab+b² ≥a+b−1

証明が合っているか教えてください🙇🏻‍♀️

重要例題43 ★★★ a, b は実数とする。 次の2つの条件は同値であることを証明せよ。 (a-1)(b-1)>0より)へ pa>1 かつ 〃 > 1 q:a+b>2 かつ (a-1)(6-1) > 0 a> |かつb>1より a+b>2…① a-1>かつb-120 (a-1) (6-1)>0--② ①②より P9は真である a>かつb71またはaspかつbsp atb>2に当てはまるのは a> |かつb>1 よって、9Pは真である すなわち、P<=>9であるため P.9は同値である

(1)の解説にある青で囲った部分の+1はどういう意味ですか？なぜ+1をするのですか？

373- 例 2 374200から300までの整数の集合を全体集合とするとき、次の部分集合の DDD 要素の個数を求めよ。 (1)4の倍数かつ6の倍数の集合 ②24の倍数または6の倍数の集合 (3)4の倍数であるが,6の倍数でない数の集合 (4)4の倍数でも6の倍数でもない数の集合 教 p.18 例題 1 次の部分集合の

(2)で、AとCはどのように互いの確率に影響しているのですか？例えば、くじ引きで引いたくじを戻さないみたいな状況なら、一回目が2回目の確率に影響しているのは分かるのですが…

524 基本 71 独立 従属の判定 例題 00000 1個のさいころを2回続けて投げるとき,出る目の数を順にm,n. m<3である事象をA, 積 mn が奇数である事象を B, とする。 m-n<5である事象を Cとするとき, A と B ACはそれぞれ独立か従属かを調べよ。 p.520本 超 事象が独立が従かの判定には、次の関係式のうち確かめやすいものを利用する ABP(B) P(B) P(A) P(A) ⇔P(A∩B)=P(A)P(B) (定義) (乗法定理) ここでは、乗法定理が成り立つかどうかを確認する方法で調べてみよう。 (AとC) Cについて|m-n <5 を満たす組 (m, n) の総数は多いので、余事象で を考えてみる。 AとCが独立⇔AとC が独立であることに注目して, ACが独立が従 かを調べる。 基 袋 い 個 2 1 (A & B) P(A)=- 6 3 解答 また,積 mn が奇数となるのは,m, nがともに奇数の (1,5) となる事象である (m,n)=(1,1),(1,3), 別館 (AとB) A∩Bは、 から 1 3×3_ ときであるから P(B)= 62 4 3 PA(B)= 1 P(A∩B) 6 P(A) 1 よって P(A)P(B)=- 12 27 また, m<3かつ積 mn が奇数となるには, 一方,P(B)= (m,n)=(1,1),(1,3) (15) の3通りがあるから ら =1/12 であるか P(B)=P(B) 3 1 P(A∩B)= よって, AとBは独立。 62 12 ゆえに P(A∩B)=P(A)P(B) よって, AとBは独立である。 (AとC) 余事象では|m-n≧5となる事象, すなわち (m,n)=(1,6), (61) となる事象である。 この根元事象の個数は 個。 2 1 よってP(C)= 62 18 また PANT)= 1 1 62 36 <AnCはm<3かつ m-n≧5となる 1 1 1 ゆえに、P(A)P(C)= であるから 3 18 54 で,そのような ( は (m,n)=(1, P(ANT) ≠P(A)P (C) よって, AとCは従属であるから, AとCは従属であ る。 練習 1枚の硬貨を3回投げる試行で、 1回目に表が出る事象をE,少なくとも2回 ② 71 る事象をF, 3回とも同じ面が出る事象をGとする。EとF,EとGはそれ 立か従属かを調べよ。 p.