3 ベクトルと図形
例題 356 円の接線線分の垂直二等分線のベクトル方程式 **
(1) 中心 C(), 半径の円C上の点Po(Do)における円の接線のベク
トル方程式は (D)=rr>0) であることを示せ.
(2) OA=a, OB=1,|a|=||=1, adik のとき,線分 OA の垂直
二等分線のベクトル方程式を媒介変数tとa, T, k を用いて表せ.
ただし,点Bは直線 OA 上にないものとする.
考え方
このと
M
(1)円Cの接線は, 接点P を通る半径 CP。 に垂直である. このことを, ベクトル
の内積を用いて表す.
(2)Bから OA への垂線を BH とする. 線分 OA の中点M (127) を通り, BHに平
行な直線のベクトル方程式を求める
と
解 (1) 接線上の任意の点をP(b) とすると,
とは限らな Co⊥PP または PP=0
CP・PP=0
CPo-po-c, PoP = p-po,
であるから,
(Do-c)・(カーpo)=0
P(p)
Po(po)
P≠Po のとき,
C(c)
CPOL POP
P=Po のとき,
PoP=0&
010
(Po-c)• {(pc)-(Po-c)}=0
(poc)·(pc)-po-cl²=0
po-c =CP=r であるから,DC
=2円の半径
(2) 垂直二等分線上の点Pについて,
OP= とする.また, B から OA
平面会への垂線をBHとし、∠AOB=0
では、とすると, la|=1,|5|=1より,
M
M(12)
中
HX
P(p)
**OH=(cos
OH=(cos 0)a=ka
|k=d=1x1xcos=coso AG
B(b)
→ ALARI
これより、 BH=OH-OB=ka-1
(5)垂直二等分線は, 線分 OA の中点M
M(1/2)を通り、
b=3&5 (6+5)-(-5)=(6+j)-(0²
BH に平行な直線であるから,万=1/2a+t(k-1)
DA
OH = OBcos A
=1・cos0=coso
BH は,垂直二等分線
の方向ベクトル
注 中心が原点O(0), 半径1の円上の点Po (Do) における接線のベクトル方程式は,(1)
い
