夏季課外 2年超難関数学 【確率】
問題5.1が書かれたカードが2枚、2が書かれたカードが2枚,...,nが書かれたカ
ードが2枚の合計 2n枚のカードがある。 カードをよく混ぜ合わせた後、1枚ずつ左から
順に並べる。このとき,カードに書かれている数の列を a1, 2, ..., a2n とする。
ak≧ak+1 (1≦k<2n) となる最小のをXとする。
(1) X=1 となる確率を求めよ。
(2) X=n となる確率を求めよ。
(3)mは1≤mn を満たす整数とする。 Xm となる確率を求めよ。
-実験してみよう!
n=4のとき
(4)
4 の8枚のカードを左から並べる。
X = 3 となるのは
例えば②
① 24 という並び。
<一橋大学>
<④>③>1=①<2<4
↑
ak≧ak+1 (1≦k < 2n) となる最小のk が X=3 となっている
解答 (1) X=1となるとき, 1≧a2であり, a3 以降は任意である。
2枚のカードの中から2枚を左から順に並べる方法は 2mP2=2m(2n-1) (通り)
> となるのはC2×22(通り)
=a2 となるのは2通り
4n(n-1)
+2n
2.1
n-1+1
n
よって、求める確率は
2n(2n-1)
2n-1
2n-1
別解 ☆まで同じ このうち, a <a となる並べ方は,
nC2×22=2n(n-1) (通り)
よって、求める確率は 1一
2n(n-1) n
2n(2n-1) 2n-1
=
......
(2) a<a< <am かつ an≧an+1となるときであるから,
=1, a2=2, ......, a =nで数字は確定し, an+1 以降は任意である。
2" 2
よって、求める確率は
×
2n Pn
2n
2
2n-1
2
2".n!
......
×
x1=
n+1
(2n)!
(3) akaz •••••• <am (ただし,m<n)となるときであるから、求める確率は
2mnCm 2".(2n-m)!n!
P (2n)!m!(n-m)!
2nm
-6-
