高校数学1a 整数の性質の単元の問題です。 左の14.15行目の解答がどのようにしてそうなったのかわかりません。 教えて下さると助かります🙇‍♀️

【数学】 x2y+1-y2=2023 を満たす素数x,yの組 を求めよ. 【解答】 2023 は奇数であるから, x2y+1-y2=2023 (1) を満たすとき, x 23 +1 と y2 の偶奇は異なる. つ まり, xとyの偶奇は異なる. 偶数かつ素数は2のみであるから, x,yのど ちらか一方が2である. (I) y=2のとき. ① に用いると, x=2027. 2027 は素数であるから, これを満たす素数 x は存在しない。 (ⅡI) x=2のとき. ① に用いると, 22y+1-y2=2023. ・② yは奇数かつ素数より y ≧3であることに 注意する。 まず, y=3のとき, 22y+1-y2=27-32 =119 り、②は成立しないから不適. 次に,y=5のとき, 22y+1-y2=211-52 =2023 より, ② は成立する。 最後に, y ≧ 7 のとき 22y+1 -y2>2023 が成立することを示す. そのため,nを7以 上の自然数としたとき, 22n+1 > n² +2023 が成立することを数学的帰納法で示す. (i) n=7のとき. 22n+1=215=32768, より, ③ は成立する. (i) k7として,n=kのとき, 22k+1 >k2+2023 n²+2023=49+ 2023=2072 が成立すると仮定する. このとき, 22(k+1)+1_{(k+1)^+ 2023} =22k+3_(k2+2k+2024 ) =4.22k+1-(k2+2k+2024 ) > 4(k² +2023) − ( k² +2k+2024) =3k²-2k+6068 >0 =k(3k-2)+ 6068 ≥7.19+6068 きより、 22(k+1)+1> (k + 1)' + 2023 を得る. これは, ③がn=k+1のときも 成立することを意味する 以上 (i), (ii) から, n7のとき, JJ 2²n+¹>n²+2023 が成立することが示された. これより,y≧7のとき, 223 +1 - y2 > 2023 3 となり,② (I), (II) より 求める素数x,yの組は, (x,y)=(2,5). を満たす素数yは5に限られる. (

この問題の(2)で、解説にはn=1のとき左辺=2と書いてあるのですが、いまいち納得いきません。 n=1のときは左辺に1を代入するので、(1+1)(1+2)(1+3)･･･2×1とはならないのですか？

245 nは自然数とする。 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。 3 n-1 3 1+2 3+3 (2)*++ (2) = 2(n-2)(3) +- +4 2 (2) (n+1)(n+2)(n+3) (2n)=2.1.3.5 (2n-1) * ...

1枚目は問題、2枚目は解答です。 2枚目の線を引いたところが、どうして同値として扱って良いのかがわかりません。 教えてください🙏よろしくお願いします🙇‍♀️

26 [2020 琉球大] FOSHA IR) iを虚数単位とし, 複素数 an を a1= -1, an+1=_1+√3i 2 (n=1,2,3によって定める。 また, 複素数 6 を b1=1,bn+1=anbn +√3i (n=1,2,3, ......) によって定める。 (1) az, a3, α」 を求めよ。 証明せよ。 (3) 6m を求めよ。 n -an 12 I-ME = w [S] 1-11+120 =(1-=-nd (2) すべての正の整数nについて an+3= an が成り立つことを,数学的帰納法を用いて FRUS£1 (8) O Ú £; \_&S= (1+1ựð 8-1- S

なんでn≦kが出てくるのかがわからないです。 誰か親切な方教えてください🙇‍♀️

nを仮定する数学的帰納法 3 漸化式と数学的帰納法 例題 322 (an) を満たし α = 2 である. このとき, 一般項an を推測し, これを証明せよ. 3a²+az²++an²)=nawa.o! ① で n=1 とすると α = 2 より az=6 ① n=2とすると =2,42=6より ① で n=3とすると、 考え方 まずは具体的に書き出して一般項an を推測し, それが正しいことを数学的帰納法で証 明する.n=kのとき, 3(a²+az²+......+an²) = kakak+1 となり, 推測した an (n≦k) を a, a2,......., ak に代入して ak+1 のときも成り立つことを示せばよい. そ のため, a1,a2, ......, ak のすべてを仮定する必要がある とおく。 3a²=1.ara2 3(a²+az^²)=2azd3 3=10 (+01=05501-8 Q(x)とする。 3(a₁²+a2²+a3²)=3a3a4D (INZ a=2, a2=6,a3=10より, a=14 したがって,数列{an}は,初項2, 公差 4の等差数列,つまで、 り, 一般項an は, an=2+(n-1)・4=4n-2...... ② ***D *** と推測できる. ②を数学的帰納法で証明する. ()+"el- (I)n=1のとき, α=4・1-2=2 より ②は成り立つ。 In≦を満たすすべての自然数nについて ② が成り立 (つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2,......, k) 16-17/(0-)-4 ①でn=kとすると, =(a²+a²+......+a^²)=kanak+1 ③ k k (③の左辺)=3Σ(4e-2)=3】(16ℓ²-16ℓ+4) l=1 3/16/01k(k+1)(2x+1)-16/12 (+1)+4k (-) =k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12} (-) = 4k (4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1) ・④ (③の右辺)=k(4k-2)an+1=2k(2k-1) ak+1 ④ ⑤ より, 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)an+1 したがって, ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2 となり,n=k+1 のときも②は成り立つ (1 (I), (II)より, すべての自然数nについて, an=4n-20- が成り立つ. LOTL 561 第8章 a1,a2,…,ak につ いての仮定が必要に なる. (S-1)="er (MIR) 1.05=8-0²5 om 5 RAH STIS *** REL. RAY 2k (2k-1) (+0) 両辺を割る. 練習 数列{an} (a>0) はすべての自然数nに対して, 656 322 (a1+a2+..+an)=a+a2+...... +α を満たす。このとき,一般項an を *** 推測し,これを証明せよ。 Date +1 自然 で定義 QA 2+1 15 を数学的 2 1-1/3 I 1 つ. ①が成 1 -ak 2k (k+ (k n

数列の極限をはさみうちの原理によって求める問題です。(3)についてです。 ①この解法は数列の二項間に関する不等式をつくり繰り返し用いる事で【anが使われていない初項の式】まで辿り着くことを利用して、数列を極限0になる式ではさんでいるという解釈であっていますか？ ②黄色部... Read More

9 はさみうちの原理 an 22+3 4 (1) 0≦x<1が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ . が成り立つことを示せ . (1) により, a=0, an+1= l-an (2) 1-an+1 2 (3) liman を求めよ. n10 解けない2項間漸化式と極限 an+1=f(am) で定まる数列の極限値を求める定石として、以下の方法がある. 1° 満たす. これからαの値を予想する. an の極限が存在して,その値がαならば,liman = a, lim an+1=αであるから,αはα=f(α) を 11-0 1118 2°与えられた漸化式 Qm+1=f(am) と α=f(a) の辺々を引くと, an+1-α=f(am)- f(α) となる が.これから |anti-a|≦klan-al, kは 0≦k<1である定数・ の形の不等式を導く。すると,|an-a|≦k|an-1-a|≦k2|an-2-a|≦…≦k"-1|a-a| • 0≤la₂-al≤k"-¹|a₁-al limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0 ¥80 (n=1, 2, ...･･･) で定義される数列{an} について 4 -≤ak+1<. ■解答量 (1) nに関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する. n=kでの成立, つまり0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について, 02+3 12+3 0≦ak+1 <1 4 よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された. an² +3 1-a₂² 2 (2) 漸化式から, 1-an+1=1- 1+ an .(1-an) 4 4 4 1+1 < 4 1+an 4 = (なお、要点の整理・例題 (8) から, ☆のkは定数でないと, am →αとは結論できない) 1 2' 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 1 - a>0であるから, 1-an+1</(1-an) (3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより, 1 0≤1 - an</21 (1-ªn-1) < 12 (1-ªn-2) <--< -2 ²-₁ (1-₁) = 1 2n-1 1 -→0より, はさみうちの原理から lim (1−a)=0 2n-1 n→∞ 9 演習題(解答は p.27 ) 1 数列 an (n=1, 2, …) は, a1=0, an+1 .". 1 22-1 liman=1 (岡山県大情報工- 1110 ① .. an→α (n→∞) 0≦x<1のとき, 02≦² a= 漸化式を用いて1-Qn+1 を 表す. 本問の場合, 求める極限値 として, 1° を使うと, a²+3 α=1, 4 からαの値が予想できる. ..

【数列の極限】に関する問題です。 オレンジの条件式が成り立っている理由がよくわからないです。 2の奇数乗でθを割っているのになぜこの式が導かれるのですか？🤔 どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

女子大理) 京都産大) まり、 う. { 2 n-00 π 4 0 (2) 2"×sin 2n 2 が成り立つことを証明せよ. limb=lim ● 8 数列の極限/漸化式 <0 とするとき, 次の条件によって定められる数列{an}がある. 0 2 1+ an V 2 (n=1, 2, 3, ...) (3) bn=aXazxas x 表せ. 1 an+1 = √ √ ² (1 + a₂)=√ √/2² (1- 0 an=COS が成り立つことを示せ . 2n a=cOS =2"×sin ・X cos 0 2n 日 2n+1 0 2n 解答量 (1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ. n=kで成り立つとすると, a1a2 0/2" n→∞ sin (0/2n) Cm は一定で, Cn=C=2cossin (3) cm=2"sin COS 2 -X cos 0 << であるから.cos max1>0 π 2k+1 4 >O 2k+1 半角の公式を連想する 本間は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式 と関連させて眺めよう. すると, COS 0 2 1+cos 2 の公式を連想するのは難しくはないだろう. sin 0 an+1 = X cos 0 2n+1 ･an 日 0 1+cos よって,n=k+1 でも成り立つから, 数学的帰納法により証明された. (2) 与式の左辺をcm とおくと, Cn+1=2"x2sin 日 2² X cos X cos sin 0 0 = sin0 0 22 0 2k = 0 2 Xan (n=1,2,3, ......) とおく.0±0 のとき, limb を 0 を用いて n→∞ X cos × ...... X cos -X cos ... sin0=2"sin cos 2. 0 .. 22 0 0 23 日 2k+1 2n ・ ×・・・・・・ X COS =Cn bn X cos ak+1 = COS 0 2k+1 0 2n = sin0 (n=1, 2,3, 0 2n > (新潟大・理,医, 歯) .) - 1/12(1+cosa)=cos √ x2 =|X|に注意して√を外 す. 2sin 2 0 0 2n+1 2n+1 (2sinacosa=sin2a) (2) も数学的帰納法で示すこと ができる. ・COS α 2 =sin 0 2n

1+1の答えを教えてください。

黄色で線を引いてるところがわかりません。 具体的になぜそうなったのか教えてほしいです。

302 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)... ........ (2n) = 2"1・3・5·······(2n-1) ******

至急！！ 明日テストで困っています。 囲った部分が分かりません！ 分かる方、教えてください🙏🏼

222 次の条件によって定められる数列{an}がある。 α=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1,2,3,.....) (1) Q2, as, as を求めよ。 (2) 第n項α を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

数学的帰納法の問題です 証明をしていて②と仮定するまでは理解しているのですが その下の不等式の意味がわからないので わかりやすく解説して欲しいです (何引く何をしてるのかも分かりません)

こ 301 次の不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ。 (n+1) ³ *1)が自然数のとき 12+22+3+......+n²< 3 4