Σ(an±bn)の正しい証明の仕方を教えていただきたいです。 また、先程の間違いを指摘していだだけると助かります。

赤線部がよく分かりません。定義より直ちに証明ができるとありますが、 どのように証明すればよいのでしょうか？ 教えていただきたいです！

無限等比級数 初項1の2つの無限等比級数 an, こbnがともに収束し, 1=1 1=1 a+h)-}および宮のbー 8 3 4 および Eanbn n=1 n=1 5 が成り立つ、このとき, こ(an+bn)? を求めよ。 (長崎 n=1 an, bn の公比をそれぞれr, sとお くと 精講 解法のプロセス an=r"-1, ba=s"-t とおく an=r"ー1, bm=s"-1 E an, こ bnは収束するから 収束条件は, n=1 n=1 Is|<1 r<1, Is|<1 このとき anbn=(rs)"-1, |rs|<1 aaba=(rs)"-1 |rs<1 ゆえ よって, Zanbn も収束する無限等比級数です。 Ea,b。 も収束 n=1 =1 また,一般に Z an, Z bnが収束するとき, ん) n=1 n=1 =1 2(an土b), can も収束して n=1 n=1 1- 1 E(a,土b。)= 2 an±と b, (複号同順) こa.b。 1-rs =1 n=1 n=1 n=1 E ca,=cEan (cはnに無関係な定数) n=1 n=1 となります。いずれも定義から直ちに証明できる ので一度は確かめて下さい。 ただし,当然ですが等式 こanb,=(E a)(と b) n=1 n=1 n=1 は成立しません。

この問題の赤線部がよく分かりません。 limCn=C というのは分かるのですが、 limC2n=C となる理由が分かりません。 どなたか教えていただけませんか？

30 第1章 数数列の極限と無限級数 4,=1 …+ (カ%=D1, 2, 3, …) とおくとき, lim(Anーlogn)=C となることが知られてい2 問 12 調和級数 1 ただし、 =(Can+l =Can-- ガ→ 00 B,-1+号+·*nー丁 (n=1, 2, 3, …) とおくとき,数列 (BaーKlogn}が収来するように定数Kの値を完。 1 =Can- 2n-1 ここで limo となるの また, この極限値をCを用いて表せ。 Cn=An-logn とおくと, 条件は Cn→C (n→c) 解法のプロセス Cn=An-logn→Cが この 。 精講 です。 そこで Bnと An との関係を調べましょう. 1 n- Bnと Anの関係は? 1 1 1 B,=1+ 2n 研 2 3 2n-1 1 2n 1 Bn= Azn-SA, 1 1 2 4 6 を 1 = A2n-- 2 1 1+ 3 An= Cn+logn を代入 2 n 1 =A2nー 上式に A,=Cn+logn を代入する と, Bnと C,の関係式が導けます。 解答 C=An-logn とおくと An=Cn+logn lim Cn=C n→ 0 また, B,は Anを用いて B,=An-A。 と表せる。0, ③より B,-Klogn 精講 = Am-4.-Klogn -An-Klogn 合③を代入 *0を代入

｢①,③よりbnを消去すると｣とありますが、どう活用すれば四角で囲んだ部分の計算になるのか分かりません。 どなたか教えていただきたいです。

(3) 数列(a)が収束するような a, bを座標とする点(a, b)の存在する能 日 散列の極限と無限級数 wiイ化式と極限(1) 2つの数列(an}, {b,) は, a=a, bi=1-a, | an+1=aa+bb。 lbn+1=(1-a)an+(1-b)b を満たしている.ただし, a, bは実数である。 (1) an+b,=1 を示し, an+1 を an, a, bを用いて表せ. (2) an をn,a, bを用いて表せ。 (高山大) 囲を図示せよ。 an+b,=1 を用いて b。 を消去する 解法のプロセス aの2項間新化式を導き~ 精講 と,典型的な2項間漸化式 項を求める an+1= pan+9 が現れます。p=1 のときは、 an+」-an=q (等差数列) pキ1 のときは。 a,の収束条件は 無限等比数列の収束条件に 1-p と変形することで一般項がわかります。 無限等比数列の収束条件は, 標問3で学びました。 0000 <解答 an+1=aa,+bb。 16n+1= (1-a)am+(1-6)bm (1) 0+2より 2② Qn+1+ bn+1=an+bm すなわち,{an+bn) は一定の数列であるから an+ bn=a:+b =a+(1-a)31 と③より b。を消去すると Qn+1=aan+6(1-an) an+1=(a-b)an+b 2) a-b=1 のとき,an+1-an=b より a=a;+(n-1)b=a-b+bn a=1+bn

無限級数の問題なんですが、解き方が分からないです。

15 aを正の定数とする. 2つの数列x,, X2, …, Xns …および Y Vas …, Vn …を次のように定義する. まずあ=a, y=a とする,曲線 xy=a° 上の点(xn, ソn) が定まったとき, この点における曲線 xy=dの 接線とx軸との交点のx座標を xn+1 とし, Xn+1 を x座標としてもつ曲線 xy=a 上の点を(xn+19 ソn+1)とする. いま Z-2 であるとき, aの の れ=1 値を求めよ。 (東京女子大) てで微分 Bで共 に ga

部分分数分解で1/3で括り出しているのがどこからその数字を持ってきたのかわかりません… 教えてください

194 (1) 第n項までの部分和を S, とすると したがって,この無限級数は収束して, その和 So 1 1 1 2.5'5-8 8.11 1 (3n-1)(3n+2) 1 1 1 2 5 5 8 1 -0 1 3n-1 3n+2 /1 1 3(2 3n+2 1 1 lim S,= lim(らー 1/1 3n+2 よって 6 n→0 n→0 したがって, この無限級数は収束して,その他 はっである。 6

解析学のフーリエ級数に関する問題です。 教えていただけるとありがたいです。よろしくおねがいします。

問題1区間 [0, T]で定義された関数 f(z) = z° のフーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数をそ れぞれ求めよ。 (ヒント:f(x) =2?を(周期をもつ)奇関数,偶関数に拡張する)

級数です。端折らず丁寧に教えていただけるとありがたいです

く※響 よ。(15点) 4. 級数 I は収束するか. 収束するどきはその和を求め n=1

急ぎです！バカでもわかるように丁寧に教えていただけるとありがたいです

2n + 1 級数 は収束するか。収束するときはその和を求 212+ 22+ +n? めよ.(15点)

フーリエ変換・フーリエ級数展開の問題です。 (2)の証明がうまくいきません。画像2枚目のように計算したのですが、どうしたらG^(2πm)になるのでしょうか。

III. 正の実数のパラメーターwに対して,実関数G(z) = e-wia を考え,そのフーリエ変換 をG(k) = 。da e-ka G(a) とする。また,Zは整数全体の集合を表し,Emez ゃEmez は整数全体にわたって和をとることを意味する.以下の問いに答えよ。 (1) G(k)を求めよ、 (2) Enez G(z + n) はzについて周期1の関数となる。これを用いて, EC(n) = と(2xm) nEZ mEZ が成り立つことを示せ。 (3) Emez ei(2mm) (2mm)? + w?)-1 を求めよ。