基本 例題62 +x+1 で割
f(x)=x80-3x40+7とする。
表せ。
基本53,61, 重要55
(2) f(x)をx°+x+1で割ったときの余りを求めよ。
い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。
①高次式の値 条件式を用いて次数を下げる
割り算の問題 等式 A=BQ+Rの利用。B=0を考える
0+o+1=0
(1) oはx+x+1=0 の解であるから
これを用いてまずのの値を求め,その値を利用してf(ω)の式の 次数を下げる。
(2) 求める余りは ax+bと表され f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b
これにx=w を代入すると
f(o)=aw+b
LQ(x) は商
解答
(1) oはx°+x+1=0 の解であるから
の+の+1=0
0=-o-1, w。+e=-1
の=oo°=o(-e-1)=-(@"+w)=-(-1)=1(*)
3S |=(w-1)(8"+e+1)=0
から =1としてもよい。
よって
ゆえに
oは1の虚数の3乗根でき
また, 80=3·26+2, 40=3·13+1 であるから
f(o)=o0-300+7=(w°)*.0°-3(w°)°.w+7
る。
=12%.(-o-1)-3·19.o+7=-4o+6
次数を下げて1次式に
(2) f(x)をx+x+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b
(a, bは実数)とすると
f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b
f(o)=ao+b
AA=BQ+R
割る式B=0を活用。
0°+o+1=0 であるから
(1)から
a, bは実数,oは虚数であるから
したがって,求める余りは
-4の+6=aω+6
a=-4, b=6
-4x+6
下の参考2を利用。
a, b, c, dが実数, zが虚数のとき
0 a+bz=0
→ a=0 かつ b=0
が成り立つ。
2 a+bz=c+dz → a=c かつ b=d
証明 (O の証明] (←) 明らかに成り立つ。
(→)6キ0 と仮定すると z=ー
左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。
b
a
よって
b=0
このとき
a=0
の証明は, (α-c)+(b-d)z=0として上と同様に考えればよい。
なお
上のの
のけ
h6の日のを一船の場合に拡張したものにあたる。
