題 172 三角関数を含む方程式の解の個数 〔1〕 ★★★
D
の方程式 cos20+2cos0-1-k=0(0≦0<2) ... ① が異なる2つの
解をもつとき, 定数kの値の範囲を求めよ。
思考プロセス
方程式 ① (0≦2)
を満たすが2つ
COS0 = t とおく
2t2+2t-2=k-1≦t≦1)
を満たすはいくつか?
対応を考える
単純に2つではない。
0の対応を考えると
(ア) A
(ア) 1<t<1である1つの
1
-2個
対して, 0は2つ対応
ぐ
020) (1) t=-1| y
1個
It=1
1個
(イ) t = ±1 である1つの
1x
3
対して, 0は1つ対応
章
10
|加法定理
Action » 方程式を満たす0の個数は、三角関数の値と角の個数の対応に注意せよ
(2cos20-1)+2cos0-1-k=0
方程式 ① は
列題
157
よって
2cos20+ 2cos-2=k
t = cos とおくと
2t2+2t-2 = k
②
友
角の公式を用いて,
方程式 ① を t = cose の
2次方程式に直す。
002
より-1≦t≦1であり, t = cost を満たす
01<t<1のとき2個, t=±1 のとき1個存在する。t<-1, 1<t のとき
ここで,f(t)=2t2 +2t-2 とおくと、②の実数解は,
y=f(t)のグラフと直線 y=kの共有点のt座標である。
よって、方程式 ① が 0≦0 <2πの範囲に異なる2つの解
をもつのは,y=f(t) のグラフと直線 y=kが,
-1<t<1においてただ1つの共 Is
t = cos を満たす 0 は存
在しない。
f(-1)=f(1) より,②
が t = -1 と t = 1 を同
時に解にもつことはない。
343
有点をもつときである
この場合
y=f(t) 21
2
15
f(t) = 2t+
ly=k
2
2
1
ゆえに,y=f(t)のグラフは右の
図のようになるから、求めるんの
2
I
10
1
t
するから、炒める
値の範囲は
k =
について
2/2013*.010)
5
==
2'
-2<k<2
とき
は存在しない。
