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基本 例題 179 レムニスケートの極方程式
00000
曲線 (x2+y2)2=x²-y2の極方程式を求めよ。 また,この曲線の概形をかけ。
ただし, 原点Oを極, x軸の正の部分を始線とする。
●基本 175
指針 x, yの方程式のままでは概形がつかみにくい。 そこで, 極座標に直して考える。
関係式 x=rcos 0, y=rsin0, x+y=re を使う。
また,概形をかくためには,図形の対称性に注目するとよい。
.......
対称性は,x,yの方程式のまま考えた方がわかりやすい(下の POINT 参照)。
極方程式をもとに,を求めやすいの値をいくつか選んで下の解答のような表を作
り、曲線の概形をつかむ。 なお、この曲線をレムニスケートという。
x=rcoso, y=rsin0, x2+y2=2を方程式に代入すると
(2)2=12(cos2d-sin20)
よって r = 0 または r2=cos 20
曲線 r2=cos20は極を通る。
したがって, 求める極方程式は
r2=cos20
<r2(re-cos20)=0
| 0=1のとき r=0
解答
は
次に,f(x,y)=(x2+y2)2-(x²-y2) とすると, 曲線の方程式
f(x, y) = 0 ①
f(x, -y)=f(x,y)=f(-x, -y)=f(x, y) であるから,
曲線① は,x 軸, y 軸, 原点に関してそれぞれ対称である。
まず,r≧0,0≦a≦ とすると,r≧0 であるから
<指針_
の
方針。
(-x)=x2,
(-y)²=y²
cos 20≥0
この不等式をOMOの範囲で解くと,020 から
2 次の項に注目する
と、対称性が見えて
くる。
π
0≤0≤
ゆえに、いくつかの0の値とそれに対応するr2の値を求めると、次のようになる。
π
π
π
π
00
12
8
√3
√2
r2 1
2
2
|61|2
4
0
これをもとにして, 第1象限における①の曲線をかき そ
れとx軸, y軸,原点に関して対称な曲線もかき加えると,
曲線の概形は右図のようになる。
POINT 座標平面上の曲線f(x, y) = 0 の対称性
