Question

り

・数C 式と曲線

この画像のはてなをつけたところの式がわかりません、よろしくお願いします

510
基本 例題 179 レムニスケートの極方程式
00000
曲線 (x2+y2)2=x²-y2の極方程式を求めよ。 また,この曲線の概形をかけ。
ただし, 原点Oを極, x軸の正の部分を始線とする。
●基本 175
指針 x, yの方程式のままでは概形がつかみにくい。 そこで, 極座標に直して考える。
関係式 x=rcos 0, y=rsin0, x+y=re を使う。
また,概形をかくためには,図形の対称性に注目するとよい。
.......
対称性は,x,yの方程式のまま考えた方がわかりやすい(下の POINT 参照)。
極方程式をもとに,を求めやすいの値をいくつか選んで下の解答のような表を作
り、曲線の概形をつかむ。 なお、この曲線をレムニスケートという。
x=rcoso, y=rsin0, x2+y2=2を方程式に代入すると
(2)2=12(cos2d-sin20)
よって r = 0 または r2=cos 20
曲線 r2=cos20は極を通る。
したがって, 求める極方程式は
r2=cos20
<r2(re-cos20)=0
| 0=1のとき r=0
解答
は
次に,f(x,y)=(x2+y2)2-(x²-y2) とすると, 曲線の方程式
f(x, y) = 0 ①
f(x, -y)=f(x,y)=f(-x, -y)=f(x, y) であるから,
曲線① は,x 軸, y 軸, 原点に関してそれぞれ対称である。
まず,r≧0,0≦a≦ とすると,r≧0 であるから
<指針_
の
方針。
(-x)=x2,
(-y)²=y²
cos 20≥0
この不等式をOMOの範囲で解くと,020 から
2 次の項に注目する
と、対称性が見えて
くる。
π
0≤0≤
ゆえに、いくつかの0の値とそれに対応するr2の値を求めると、次のようになる。
π
π
π
π
00
12
8
√3
√2
r2 1
2
2
|61|2
4
0
これをもとにして, 第1象限における①の曲線をかき そ
れとx軸, y軸,原点に関して対称な曲線もかき加えると,
曲線の概形は右図のようになる。
POINT 座標平面上の曲線f(x, y) = 0 の対称性

Answer 1

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

たとえば、

y=x+1
のグラフは、
f(x)=x+1
と置くと
y= f(x)=x+1
なので
y=f(x)
と表せます。

式を記号を置き換えているだけなので、分かりにくいようでしたら式を代入してしまって問題ありません。

記号で置き換えてる理由ですが、f(x)で表すことでいちいち「xに-xを代入すると、、、」という文を書かなくても「f(-x)=、、、」だけで伝わるので画像の青線の直後にあるような説明が楽になるからです。

(x²+y²)²＝x²-y²
の右辺を移行すると
(x²+y²)²－x²-y²＝0
になります。

なので、
f(x,y)= (x²+y²)²－x²-y²
と置くと、
与えられた曲線は
f(x,y)= (x²+y²)²－x²-y²=0
なので
f(x,y)=0
と表すことができます。