Question

コータ

数列の漸化式の問題で考え方がわかりません。
解説の1行目では変形してこの漸化式を等比数列の型に持ち込めると発想しています。
なぜこのような発想ができるのでしょうか。
A/n+1、A/nはどうやって発想して出てきたのかもわかりませんでした。

Una
I+Un
1
n-1
n(n+1)
(n≥1)
XXX (3) a₁ =1, an+1=an+
16

(3) an+1+
A
A
=
n+1 2
ant
n
・①
①を変形して
an+1= 1/an+2n
A
が与式と一致するように, 定数Aを定める.
=
1
A(-n+1)
2n(n+1)
A
n+1
2 ant
1
与式 an+1
n-1
=
ant
2
n(n+1)
と比較して
A
--1
A=-2
-
2
708
よって、 ① は, an+1-
2
n+1 2
=1/1
2
an
n
an
n
an
==
41=1-2=-1, 一般項は,/2/7 (1/2)
. An
2
n
2
n
これより, {am-22}は等比数列で,公比 123,初項
n-1
1122

Answer 1

和

解ける漸化式は、多くが「等比の型」に持ち込みますよ
次いで「階差の型」、「等差の型」です
3つくらいなので、それ自体の発想にはすぐ慣れます

すでにいくつかの漸化式は解いているものと察しますが、
それらの多くは以下のようだったはずです

a[n+1] = (定数)a[n] +(nの式f(n))
という形は、ふつう
a[n+1] -g(n+1) = (定数)( a[n] -g(n) )
の形にする
これにより、数列( a[n] -g(n) )は等比になる

a[n+1] = 3a[n] +4ならg(n)は定数だし、
a[n+1] = 3a[n] +2ⁿならg(n)はα×2ⁿみたいな形だし、
a[n+1] = 3a[n] +nならg(n)は1次式だし、
a[n+1] = 3a[n] +n²-nならg(n)は2次式でした

終わりに足されているものと同じような形ということですね
今回は終わりが(n-1)/( n(n+1) )なので、
　(n-1)/( n(n+1) ) = (-1/n)+(2/(n+1))
という部分分数分解も合わせて、
そのような形にしています
（部分分数分解のくだりは、この時点で考えなくても
結果としてうまくいきそうです

コータ

このタイプの漸化式は等比数列の型に持ち込めると証明されているからこの式変形をしているというよりかは、等比数列の型に持ち込めたらいいなという予想から式を立ててみて結果的にうまく変形できたという感じでしょうか。
自分が勉強した基本問題集では載っていないような解き方だったので、どういう発想で解いているのかが気になります｡｡｡
変な日本語ですみません。

和

発想については上で語りました

漸化式がみな等比型になるわけではありませんが、
解けるタイプの漸化式の多くは等比になります
むしろ、等比などに帰着できるものを出題しているので、
話が逆といえるかもしれません

あなたの言う通りで、等比になるとしたらこういう形、
という流れです

その問題集でも「αとおく」「特性方程式」
というような表現があるかもしれません
それが、等比の形を導く手法の一環です

コータ

難しいなというのが素直な印象です笑
繰り返しの質問に答えていただいてありがとうございました。

Answer 2

🍇こつぶ🐡

与式の分母が (n(n+1)なので、部分分数分解のようなイメージで
nと n+1 に分かれる形を予測します。

a{n+1}の相方には n+1の式、a{n} の相方には nの式を置くことで、数列 {bnとして扱えるようにしています。

このように、「左辺と右辺で n+1と nの構造を同じにするにはどうすればよいか？」という逆算から、この変形が生まれています🙇