Question

はるか

数IIの極値とグラフについてです。
(2)の赤い丸で囲った部分がどうしてこのようになるのかわかりません。
x<-2の範囲ではf’(x)>0になると思ったのですが違うのでしょうか？
教えてほしいです🙇‍♀️

139 次の関数の極値を求めよ。 また、 そのグラフをかけ。
(1) y=x3+3x2-9x+5 (2) y=3x+16x+24x²-7
ポイント② 関数の極値 y'=0 となるxの値を求め,増減表をかく。
ポイント③ 関数のグラフ 関数の増減・極値、座標軸との共有点を調べて

(2)y'=12x3+48x2+48x=12x(x2+4x+4)
=12x(x+2)2
y'=0 とすると
x=-2,0
の増減表は次のようになる。
x
-2
0
-
20
0
+
極小
A
9
1
-7
-2
よって,yはx=0で極小値-7 をとる。
また, グラフは 〔図] のようになる。
y
0
9
←x=-2で極値をとらな
いことに注意。
-7
x

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

x<-2の範囲ではf’(x)>0になると思ったのですが違うのでしょうか？
＞違います。

仮にx＝-3をy’の式に代入したら確かめられます。

y’＝12x(x+2)^2ですよね。

(x+2)^2部分は(-3+2)^2＝1＞0ですが、12xのx＝-3だから、
y’＝12❌(-3)❌1＝➖36＜0になりますから、増減表⭕y’は➖になります🙇

はるか

理解できました！ありがとうございます！🙇‍♀️🙇‍♀️

Answer 2

和

解決済みですが、次につながるような説明をさせてもらいます

いちいち代入して符号を確かめるのは大変なので、
可能な限りグラフを活用します
この場合はy'の正負を判断するので、
y'のグラフ（12x(x+2)²のグラフ）を描いて判断します

はるか

すごく丁寧にありがとうございます🥹✨️
理解力がなくて申し訳ないのですが、x=0で変わるというのは正負が変わるということで合ってますか？
なぜx=0で正負が変わるということが分かるのでしょうか？また、xが0の時にしか正負が変わらないから負の数のときはずっとマイナスということでしょうか…？
長文で質問すみません🙏💦お時間がある時に答えていただけたら嬉しいです！！

和

すみません、字が悪いのですが、赤字は「x=0で交わり」です
x=0でx軸をまたぐ、ということです

単なる「x-○」からは交わる点x=○がわかります
「(x-△)²」からは接する点x=△がわかります

はるか

わーごめんなさい！！😭😭
なるほど！！
-2より小さい値を代入せずに、グラフがこのようにならないのがわかるのは何故でしょうか？？

和

繰り返しになってしまいますが、
　f(x)が(x-α)²を因数にもてば、
　f(x)=0は重解x=αをもつし、
　曲線y=f(x)はx軸とx=αで接する、
という事実があります

その図だとx=-2で、「交わる」です

はるか

なるほど！！理解できました！！
ご丁寧にありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️