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基本 例題 33
1次不等式の整数解
解答
HII
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00000
(1) 不等式 6x+8(6-x) >7 を満たす2桁の自然数xの個数を求めよ。
(2) 不等式 5(x-1) <2(2x+α) を満たすxのうちで,最大の整数が6であ
るとき, 定数αの値の範囲を求めよ。
CHART & THINKING
1次不等式の整数解
数直線を利用
まずは, 与えられた不等式を解く。
(1) 2桁の自然数→ 10≦x<100
基本2932
これと不等式を連立して, 条件を満たす整数xの値の
範囲を 10≦x≦n の形に表す。 この不等式を満たす整数の個数は ?
(2) 不等式の解は x < A の形となる。 数直線上でAの値を変化させ, x<Aを満たす最大
の整数が6となるのはAの値がどのような範囲にあるとき
かを考えよう。→x=6 は x < A を満たすが, x=7 は
x<A を満たさないことが条件となる。
6 A 7 x
(1) 6x+8(6-x) >7から
2x>-41
ゆえにx<14/12
x=20.5
xは2桁の自然数であるから
10≦x≦20
求める自然数の個数は
2桁
◆展開して整理。
不等号の向きが変わる。
解の吟味。
21
+
10 11
20 41
2
x
20-10+1=11 (個)
(2) 5(x-1)<2(2x+α) から
x<2a+5... ・①
①を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは
6<2a+5≦7
のときである。
←展開して整理。
←6<2a+5<7 とか
1 <2a≦2
よって 1/2kas1
<a≦1
6 2a+57 x
62a+5≦7 などとし
ないように。 等号の有
無に注意する。
①を満たす最大の整数a=1のとき,不等式は
[in 6/2a+5≦7 は,次のように解くとらく。
各辺から5を引いて
1<2a≦2
各辺を正の数2で割って 1/12 <as
x<7 で,条件を満たす。
a = 1/2のとき、不等式は
<6で条件を満たさ
ない。
PRACTICE
