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K高校2年 数学II 令和7年度2学期中間テスト対策練習問題② ① 関数 y = 2x+2 -4˙+1 +2 [x+1 1 [2] f(x) = 4* +4¯* +2* +2¯* +5 がある.2" =t とするとき, 次の問いに 答よ. がある. (1) −2≦x≦1のとき, tのとり得る値 の範囲を求めよ. ①をt を用いて表せ. (3)−2≦x≦1のとき、 ① の最大値と最小 値を求めよ. また, そのときのxの値を求 めよ. (1) t = 2" + 2 とする.tのとり得る値 の範囲を求めよ. (2)(1) のとき, f(x) をtの式で表せ. (3)(1)のとき,f(x)の最小値を求めよ. ま たそのときのxの値を求めよ.
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解答例&プチ解説 1 指数関数の最大・最小 (パターン①) 置きかえる2次関数に帰着させる元にもどす y = 2x+2 -4x+1 +2 ① (1) −2≦x≦1 辺々を底2 (1) の指数とすると (2) ①で、 2x+2 = 2-2 ≦2"≦2' よって 4 ≤1≤2 222=4.2" = 4t 4x+1 = (22)x+1 = 22x+2 =(2")2.22 = 412 だから、①は y = 4t - 4t2 + 2 よって - y = -4t2 + 4t + 2 (3)(1)の範囲で(2)の放物線の最大値と最小値をおえかきしてみつけると 2 • y = +3 2 1 t = ・のとき最大値3をとり、 t=2のとき最小値-6をとる。 1 4 2 • ここで、tを元に戻すと t=2" =/12のとき -6 のとき x=-1 t=2* = 2 のとき x=1 よって x=-1のとき最大値3 2 t x= :1 のとき最小値-6
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解答例& プチ解説 2 指数関数の最大・最小 (パターン②) 置きかえる2次関数に帰着させる元にもどす f(x) = 4* +4¯* + 2* +2¯* +5 1 (1) 2">0、20だから相加平均・相乗平均の関係より よって 2 + 2 ¯ ≧ 2√2 x 2 -火 ...2" + 2 ¯ ≧2 t≧2 2 2x2- 2x-x = 2°=1 = (2)1で 4' + 4 = (2*)2 + (2^*)^ = (2" + 2¯*)? - 2×2* x2 -× よってf(x)=(2-2) +t+5 ∴f(x) =t2 +t+3 =12-2 y 2 11 (3)(2)より f(x)=t+ + 4 t≧2の範囲でグラフをお絵かき すると t=2のとき最小値9をとることが わかる。 ここで、tを元に戻すと 2+2= 2 11 4 0 2 t 2 この等式が成り立つのは、②の根号の中が1になるときだから 2" =2¯"→(2")²=1→2" =1→x = 0 したがって、f(x)はx=0のとき最小値9をとる。
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