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K高校2年 数学II 令和7年度2学期中間テスト対策練習問題②
① 関数 y = 2x+2 -4˙+1 +2
[x+1
1
[2]
f(x) = 4* +4¯* +2* +2¯* +5
がある.2" =t とするとき, 次の問いに
答よ.
がある.
(1) −2≦x≦1のとき, tのとり得る値
の範囲を求めよ.
①をt を用いて表せ.
(3)−2≦x≦1のとき、 ① の最大値と最小
値を求めよ. また, そのときのxの値を求
めよ.
(1) t = 2" + 2 とする.tのとり得る値
の範囲を求めよ.
(2)(1) のとき, f(x) をtの式で表せ.
(3)(1)のとき,f(x)の最小値を求めよ. ま
たそのときのxの値を求めよ.

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解答例&プチ解説
1 指数関数の最大・最小 (パターン①)
置きかえる2次関数に帰着させる元にもどす
y = 2x+2 -4x+1 +2
①
(1) −2≦x≦1 辺々を底2 (1) の指数とすると
(2) ①で、
2x+2
=
2-2 ≦2"≦2'
よって
4
≤1≤2
222=4.2"
=
4t
4x+1 = (22)x+1 = 22x+2 =(2")2.22 = 412
だから、①は y = 4t - 4t2 + 2
よって
-
y = -4t2 + 4t + 2
(3)(1)の範囲で(2)の放物線の最大値と最小値をおえかきしてみつけると
2
•
y =
+3
2
1
t = ・のとき最大値3をとり、
t=2のとき最小値-6をとる。
1
4 2
•
ここで、tを元に戻すと
t=2"
=/12のとき
-6
のとき x=-1
t=2*
=
2 のとき x=1 よって
x=-1のとき最大値3
2
t
x= :1 のとき最小値-6