ページ3:

สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ให้ a, b เป็นสเกลาร์ และ u, v เป็นเวกเตอร์
1. lu=u
2. a(u + v) = au + av
3. (a + b)u = au + bu
4. (ab)u = a(bu) = b(au)
ตัวอย่างที่
6
A
V
D
1-
น
B
} x เข้า
กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มี AD เป็นเส้นมัธยฐาน ให้ u = AB และ v = AC ดังรูป จงเขียน AD ในรูป
ของ ū และ v
AD = AC + CD
:
AC
CB
AC + 1 (CA + AB)
= V + 1 (- บี +
+1 นี)
V+ 1 น
+ -
ตัวอย่างที่
7
B
13
A
2
+
จากรูป ให้ u = AB และ v = - AC ถ้า AE : EB = 2 : 3 และ AF : FC = 5 : 4 แล้ว จงเขียน EF ในรูปของ
u และ v
v
C
EF = EA + AF
= 2 AB 5 AC
= -3
= -
นี
AB + 1
+ 5 v
9
E
3
S
F
บทที่ 1 เวกเตอร์
15

ページ4:

ตัวอย่างที่ 8 จากรูป ให้ u = AB และ v = AC ถ้า AO : OD = 3 : 1 และ BD : DC = 3 : 2 แล้ว จงเขียน AO ในรูปของ
A
15
u
1>
u และ v
3
1
D
2
C
AD = AB + BD
= AB+3 BC
= AB + 3 ( BA + AC)
S
= ū + ≤ ( - ŭ + v)
5
B
=
+
S
AO: OD 3:1
AO: AD: 3:4
AO = 3 AD
4
= 3 μ + 9 v
ไม่ค่อยได้ใช้
10
10
ทฤษฎีบท 1.1
u
สำหรับ u ≠ 0 และ v = 0 จะได้ว่า นี้ ขนานกับ V ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ≠ 0 ที่ทำให้ V = au
ทฤษฎีบท 1.2
สำหรับ u ≠ 0, v ≠ 0 และ นี้ ไม่ขนานกับ V จะได้ว่า ถ้า au + bv = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0
ตัวอย่างที่ 9
ให้ u = 0 และ V ≠ 0 ซึ่ง วัน +
+ v = 24 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้จริงหรือเท็จ
#
1. นี้ มีทิศทางเดียวกันกับ ที่ T
2. นี้ มีทิศทางตรงข้ามกับ มี F
3. นี้ มีขนาดเป็น 3 เท่าของ V T
≤ u + v
3
=
24
zu - sū =
su v
3
u
j q =
V
ü = 30 la ≠ 0 |
0]
16
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ5:

แบบฝึกหัดที่ 1.3
1. กำหนดเวกเตอร์ u, V และ W ดังรูป จงเขียนเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) 3ū
A
W
น
V
(2) -2v
(3) v + 2w
(4) (w-2u) + v
2. จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง นี้ กับเวกเตอร์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้
(1) v
v เมื่อ 4ū – v = 3v
.4.4 = 4ÿ
(2) w เมื่อ 20 – 5w = 4w + 5u
= 9 พ
u = -3W.
3. กำหนดให้ 1 + 0, v = 0 และ w = 0 จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
#
(1) ถ้า 2u + 3w = 2x − 3u แล้ว v - น ขนานกับ u + w
=
5μ ± 3W = 2v
√ - ū = -3, ŭ + w = 8
น
(2) ถ้า u + v = w - 34 แล้ว นี้ มีทิศทางตรงข้ามกับ w -
=
ทิศทางเดียวกัน
(3) ถ้า 4v – 5u = 5w − 4u แล้ว v + u มีขนาดเท่ากับ u + w
4v-u = sw
ไม่จริง
บทที
17
1 เวกเตอร์ เ

ページ6:

18
4. กำหนด u ≠ 0, v = 0 และ 1 ไม่ขนานกับ v ถ้า au + by = 7u – 4v แล้ว จงหา a และ b
a
b = -4.
5. กำหนด นี้ ไม่ขนานกับ v และ a, b เป็นจำนวนจริง
-
*
ให้ w = (a + 4b)ū + (2a + b + 1)v และ s = (b − 2a + 2)u + (2a − 3b + 1)v
ถ้า 3w = 2s แล้ว จงหา a และ b
( 3a + 1 2 b ) 3 ŭ + ( b Q + 3b + 3 ) 3 v = ( 2b - 4 a + 4) μ + ( 2 α - 3 b + 1 ) v.
(7a+10b-4)ū + 2 ca+ab + 1) y = 0.
70 + 10 b - 4 = 0-
29 + ab + 1 = 0-
43. b.+.15..
= 0
-15
. b b n g s b b b @ ; 2 a + 9(-5)+1=0
43
a = 92
86
a = 46
43
6. กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ดังรูป จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
15
W
A
V
(1) v = w X
(2) DB = u + v ×
(3) 2 s − u = V
ห
(4) 2AE=u+v ✓
(5) AE = w + s X
=
(6) AÈ = (u – w)
7. จากรูป จงเขียนเวกเตอร์ AD, AC และ CD ในรูปของ u และ v
E
น
D
W
C
72u
A
2w
B
W = 24 + 24 - น -
AD
AC :
:
ŭ + v + ( ˜ ŭ + v.).
= 2V
CD = -(W)
= - ( - U + V )
-u + v =
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ7:

8. กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีจุด P เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม จุด Q เป็นจุดบนด้าน AB ที่ทำให้ AQ : QB = 2 : 3
ให้ u = AB และ v = AD ดังรูป จงเขียน PQ ในรูปของ นี และ V
=
A
0
น
B
PQ = PA + AQ.
= PD + DA + AQ..
= 1 ( ÿ ñ ) + ( - Ñ ) + 2 (U)
S
00
= SU-IS+4
10
au-15V
10
*
9. จากรูป กำหนดให้ V เป็นจุดกึ่งกลางของ TQ ถ้า u = QR, 2u = PQ = TS และ V = SR แล้ว จงเขียน PV ในรูปของ นี้ และ
|
v
T
2u
S
V
P
2u
Pa = PQ + @V
R
น
2 ū ± 1 ( ů - 2 ů - v )
.30.ที
V
2
2
10.จากรูป กำหนด 0 เป็นจุดตัดเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้ u = AB, V = DO และ OB = 2DÒ
ถ้า CD = 2kV – u แล้ว k มีค่าเท่าใด
-
D
0
A
u
B
CD = CO + OD
( 2 Ñ - ŭ ) + ( · ˇ )
= v-u
2ký-ŭ = v-ů
ะ
k = 1
2
19
บทที่ 1 เวกเตอร์