ページ3:

ตัวอย่างที่ 10 จากรูป จงหาพิกัดของจุด A, B, C และ D
Z
A ( 0, 0, 3 )
* ( 0, 3, 3)
(2,0,3),
X
E(2,090)
ตัวอย่างที่ 11
Y
'3 (0,3,0)
(29390)
จงเขียนจุด A(2, 2, -1), B(1, -3, 2) และ C(-1, 3, 3) ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
Z
2.
1
2
-2
Check Yourself 6
801,-3,2/
A ( 2, 2, 1 )
จากรูปที่ 18 จงพิจารณาว่าข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง
(-9+9+)
1. จุด P อยู่ในอัฐภาคที่ 2 F
2. จุด Q มีพิกัด (2, -3, -1) F
3. จุด R มีพิกัด (0, 0, 2) T
บิง
4. จุด S อยู่ในอัฐภาคที่ 8 F
Q2
Q1
(-9+) (+g+)
Y
3
N
2
3
Z
(0,092)
(0,2921
Y
(1,1,-1)
(-9-)
(+9-)
รูปที่ 18
QS
Q4
บทที่ 1 เวกเตอร์
21

ページ4:

ภาพฉายของจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติ
จากรูปที่ 19 ถ้าลากเส้นตรงผ่านจุด P(x, y, z) ให้ขนานกับแกน Z ไปตัด
ระนาบ XY ได้จุดตัด Q(x, y, 0) เรียกจุด Q ว่า ภาพฉาย (projection) ของ
จุด P ในระนาบ XY ในทำนองเดียวกัน จะเรียกจุด R(0, y, z) ว่าภาพฉาย
ของจุด P ในระนาบ YZ และเรียกจุด S(x, 0, z) ว่าภาพฉายของจุด P ใน
ระนาบ XZ และเรียกจุด A(x, 0, 0), B(0, y, 0) และ C(0, 0, z) ว่าภาพฉาย
ของจุด P บนแกน X แกน Y และแกน Z ตามลำดับ
Check Yourself 7
กำหนดจุด P(2, -4, 7) จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. จุด (2, -4, 0) เป็นภาพฉายของจุด P ในระนาบ XY T
2. จุด (2, 0, 0) เป็นภาพฉายของจุด P ในระนาบ YZF ; แกน X
3. จุด (0, 0, 7) เป็นภาพฉายของจุด P บนแกน Z T
4. จุด (0, -4, 7) เป็นภาพฉายของจุด P บนแกน X F ; ระนาบ YZ
ระยะทางระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติ
ทฤษฎีบท 1.3
ตัวอย่างที่ 12
Z
R(0, y, z)
C(0, 0, z
S(x, 0, z), -
P(x, y, z)
Y
0
B(0, y, 0)
A(x, 0, 0);
Q(x, y, 0)
X
รูปที่ 19
ระยะทางระหว่างจุด A(x,, Y, Z ) กับจุด B(x, y, z.) ในระบบพิกัดฉากสามมิติเท่ากับ
((x₁−x₁)²+(y₁ − y₂)²+(z, −z²)² úɔu
จงหาระยะทางระหว่างจุด P(2, -1, 4) และจุด Q(6, 1, -3)
PQ = √(2-6)²+(-1- 1)²+ (4 - (-3))²
= 16 + 4+49
22
:
J69 หน่วย
เจ
ตัวอย่างที่ 13 ถ้าระยะทางระหว่างจุด A(-2, y, 8) และจุด B(1, 5, 2) เท่ากับ 7 หน่วย แล้ว จงหา y
AB = 7
7: √(-2-1)²+(y-5)²+(8-212
7.
7:
√9+(y-5)²+36
√(y
2
(y-5)²+45
49=(4-5)²+45
ค33231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
4-(4-5)²
2
0 = (y-5)² - 2 ²
0 = (y-5-2) (y-s+2)
(y-3) (4-7)=0
d
y = 3950
y = 7 *

ページ5:

1. จากรูปที่ 20 จงบอกพิกัดของจุดต่อไปนี้
.......g. -1.9.2.2.
................).
-1
แบบฝึกหัดที่ 1.4
(1) จุด A
(2) จุด B
(3) จุด C
.........g... 2...g..
0.
(4) จุด D
...................
...2...
(5) จุด E
(0.g. 2. g. 2).
(6) จุด F
...........2.......
(7) จุด G
..............
(8) จุด H
...............)..
G
E
H
Y
2. จากรูปที่ 20 จงหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดต่อไปนี้
(1) จุด A กับจุด B
AB = √(0-1)² + ( − 1 + 1)² + (2-0)²
:
144
=
Is หน่อย..
X
รูปที่ 20
(2) จุด D กับจุด F
DF = (1-2)²+(0-(-2))² + (-2-(-1))²
1.4 4.4 1
0:0
16
หน่อย..
(3) จุด C กับจุด G
CG = √(1 - (-1))² + (2-0)² + (0-1)².
=
= J 4.44.1.1.
(5) จุด E กับจุด H
=
หน่วย
*
EH (0-(-1)) (2-3)² + (-2-1) ².
14 14.9
10
11 หน่วย
3. จากรูปที่ 20 จงหาความยาวของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
(1) รูปสามเหลี่ยม ACF
A.CO.J14
CF = (1-2)²+(2-(-2))²+(0-(-1))²
: 14 164.1.
(4) จุด A กับจุด C
AC = √(0-1)²+(-1-2)²+(2-0)²
: 1
+ 4
9/2.2.
14
(6) จุด B กับจุด G
BG = (1-(-11)² + (9-0)² + (0-1)²
4+1 +1.
เ
(2) รูปสามเหลี่ยม BDH
หน่วย
BD = √(1-1)² + (1-0)² + (0-(-2))²
:
1+4
2
=
18 หน่อย.
AF = √(0-2)² + (-1-(-2))² + ( 2-(-1))²
4+1+9
=J14 หน่วย
…. 2.14 + 18 หน่วย
PH = (1-(-1))²+(0-3)²+(-2-1)²
=
4+9+9
22
HB = √(1+1)² + (-1-3)² + (0-1)²
=
21 หน่วย
23
• 5 + 22 + 21 หน่วย
บทที
1 เวกเตอร์ เ

ページ6:

24
4. จงหาพิกัดของภาพฉายของจุด P(-6, 3, -5) บนแกนหรือในระนาบที่กำหนดให้
(1) บนแกน X
(-69090)
(3) บนแกน Z
( 0 g 0 g -5)
(5) ในระนาบ YZ
(0939-5)
(2) บนแกน Y
.0.0.0.3.0.0.
(4) ในระนาบ XY
(-b9390)
(6) ในระนาบ XZ
(-6909-5)
5. จงหาพิกัดของจุด P ซึ่งมีจุด Q(5, -2, 0) เป็นภาพฉายของจุด P ในระนาบ XY และมีจุด R(0, 0, 4) เป็นภาพฉายของจุด P บน
แกน Z
ภาพฉายแกน...X...................2...0.0.
ฉายบนแกน.....2..
พิกัดจุด P = 0.5...2.4.4)
9
.......0.0.0.9......
6. ถ้าระยะทางระหว่างจุด P(k, 4, 7) และ Q(-2, -4, 3) เท่ากับ 9 หน่วย แล้ว จงหาค่า k
.PQ = 9.
9 = √(K-1 -2 ))² + (4-(-4)) ² + (9-3)²
9² = √(k + 21 ² + 6 4 4 16 | 2
2
. 8 1 = ( k + 2 ) ² + 6 4 + 16..
1 = (k+2)²
หาค่า k
k+2 = 1
k+2=-1.
k = -1.
k = -3.
.. ka...ge
7. ให้ P(x, y, z) เป็นจุดใด ๆ ซึ่งมีจุด A, B และ C เป็นภาพฉายของจุด P บนแกน X แกน Y และแกน Z ตามลำดับ จงหาเงื่อนไข
ของ x, y และ z ที่ทำให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ระยะห่าง...............แต่ละจุดต้องมีระยะทางความห่างที่เท่ากัน... ABC จึงจะออกมา....
เมื่อลากถึงกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หรือใช้ความรู้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเข้ามาช่วย
ปัญหาชวนคิด 2
ห้องเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งกว้าง 6 เมตร ยาว
8 เมตร สูง 4 เมตร ส้มโอต้องการตกแต่งห้องเรียนในช่วง
เทศกาลปีใหม่ โดยการผูกธงราวจากมุมห้องมุมหนึ่งไปยัง
มุมห้องอีกมุมหนึ่งและอยู่ต่ำกว่าเพดาน 0.5 เมตรดังรูป
ที่ 21 จงหาว่าส้มโอต้องใช้ธงราวที่มีความยาวอย่างน้อย
เมตร (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
0.5 ม.
รูปที่ 21
8 บ.
6 ม.
4 ม.