ページ3:

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
Z
✗
P(a, b, c)
OPP
=
a
Y
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
Z
a
0
C
--B(x2, V2, Z2)
AB
=
Z
X₂-X1
A(X1, 1, Z₁)
Y2
*
ปลาย-ทัน*
TE") (~...

ページ4:

ตัวอย่างที่ 15
น
หลง - หนา
ปลาย-ต้น
กำหนดจุด P(7, -4, 2) และจุด Q(-1, 9, 3) จงหา PQ และ QP
PQ =
QP
=
[(-1)->
9
9 - (-4) | = | 13
3-2
-
(-9) - 9
2
-
2
3
-13
ตัวอย่างที่ 16 จงเขียนเวกเตอร์ ū = -1 และ v = 3 ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน
โดยให้จุดเริ่มต้นคือจุดกำเนิด
2
Z
(2,512)
10
Y
-2
(1,3,-1)
ในระบบพิกัดฉากสองมิติและสามมิติ ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริงใด ๆ สรุปเกี่ยวกับการเท่ากันของเวกเตอร์
นิเสธของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ เวกเตอร์ศูนย์ การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ดังนี้
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
การเท่ากัน
b
8-8
ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
a
d
d
b
=
C
f
นิเสธของเวกเตอร์
a
นิเสธของ
คือ -
หรือ
-b
การบวกเวกเตอร์
26
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
a+c
8-8-ba
ก็ต่อเมื่อ a = d, b = e และ c = f
-a
a
นิเสธของ b คือ
ADC
a
-a
b | หรือ | -b
-C
a
bl+ e
a+d
|= b+e
ย
b+d
C
f
c+f

ページ5:

เวกเตอร์ศูนย์
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ
การลบเวกเตอร์
8-8-8-9
b-d
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
ADA
a
d
a-d
e
b-e
การคูณเวกเตอร์ด้วย
สเกลาร์
a
h
=
aa
ab
เมื่อ ∞ เป็นสเกลาร์
a
aa
alb = ab เมื่อ a เป็นสเกลาร์
C
AC
ตัวอย่างที่ 17
กำหนดให้ u =
และ v =
จงหา u + v, v – u และ 2u + 3v
μ + v =
v-ů
=
2u + 3 v
=
+ 3
4
-3
ตัวอย่างที่ 18
กําหนดให้ u
u = 5
และ v =
2
6
2 + (-s)]
(-3)+7
=
(-5)-2
7-1-3)
t
จงหา u + 2v และ 3v – 4u
*
ü + 2V =
5
+2
S
+
9
#
4
16
F-2.5
3√-4u = 3
4
S
20
=
18
-4
-14
22
#
+(-4)ū
บทที่ 1 เวกเตอร์
27

ページ6:

ตัวอย่างที่ 19
2x + 3
กำหนดให้ u =
u = v
2x+
ตัวอย่างที่ 20
และ v =
[y+7]
ถ้า u = v แล้ว จงหา x และ y
2X + 3 = - |
และ
4+7=-5
y = -12
#
2x = -
=-4
x : -
=-2
จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์คู่ใดมีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์คู่ใดมีทิศทางตรงข้ามกัน
2 x
1. AB =
-3 y
z
วิธีที่
6
「 3(2)
2. u = | -9 | =
3 (-3)
= 3 | -3
3
3 (1)
(-4)(2)
=
-8
3. PQ = 12
วธท 2
AB กับ นี
x: 2
b
=
=
3
=
-4
(-4)(-3)
((-4)(1)
..
AB มีทิศทางเดียวกันกับ นี
= 3 18 → AB มีทิศทางเดียวกันกับ นี
2
AB
A
--- A8 - A8 มีทิศทางตรงข้ามกับ PO
=-4AB
AB กับ PO
y
๗
x : 2
-8
12
=
=
10 -|
4
A8 มีทิศทางตรงข้ามกับ Po
Z:
w|3
Z :
2
-3
-
b
9
-4
3
42
-3
Check Yourself 9
"
=
12
-4
A
-6
4 = -2
กำหนดเวกเตอร์ ū =
2
1. เวกเตอร์ u เป็นนิเสธของเวกเตอร์ AB
AB =
8 | จุด A(-2, 3, 5) และ B(1, -1, 4) พิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1-(-2) = 3
-1-3 = -4
4-5
U=-AB = BA
เทจ
เท็จ
จริง
2. เวกเตอร์ u มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ AB X
3. เวกเตอร์ น ขนานกับเวกเตอร์ BA /
☑
x :
= 2
2
-b
y: -4=-18
2:-2
= 2
2
= 2
1
28
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
-AB = BA =

ページ7:

การขนานกันของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
1) โดยทั่วไป ให้ 1 + 0 และ 1 + 0
#
นิ ขนานกับ ” ก็ต่อเมื่อ 6 = ku หรือ T = ku
=
ถ้า k > 0 แล้ว นี่ มีทิศทางเดียวกันกับ ที่
ถ้า k < 0 แล้ว นี่ มีทิศทางตรงข้ามกับ
Ex. v = bū
ū
:
9
ตรวจสอบได้ 2 วิธี
V.เนี
→→ ŭ = -3 √
ขนานกัน
4
การขนานกันของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
2 ส่วน ส่วน
2
ให้ ū = [S
=
และ ที
=
นี ขนานกับ ที ก็ต่อเมื่อ “
=
C d
ถ้าอัตราส่วนเป็น + แล้ว นี้ มีทิศทางเดียวกันกับ D
ถ้าอัตราส่วนเป็น – แล้ว นี้ มีทิศทางตรงข้ามกับ
C
0/0 0/0
C
a
bŭ
d←v
d ←v
d
bu
C
40
a
d
b
11
1>13

ページ8:

1. จงเติมตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
แบบฝึกหัดที่ 1.5 (ก)
ข้อ
พิกัดของจุด A
พิกัดของจุด B
เวกเตอร์ AB
เวกเตอร์ BA
-4
ตัวอย่าง
(-2, 3)
(5, -1)
47
(1)
(3,5)
(7,4)
(2)
(2,-7)
…….…........1.0.0.
-3
+3
-4
-5
(3)
(29.7.)
(-3,8)
(4)
................
[A]
(5, 0)
(5)
(8, 1)
(b,-3).
(6)
(1, 2, 0)
(-2, 5, -1)
(7)
(2, -4,0)
(3.9-4.9-1)
(8)
(-1, -3, 5)
(-9.9.0...9.12.)
(9)
...3...........
(2, 7, 4)
ล
-7
E
-9
3
4
837
560
(10)
C-10..........
(-9, -1, 6)
[1
บทที่ 1 เวกเตอร์
29
29

ページ9:

2. กำหนดให้ u =
(1) u + v
.u.t.v =
5 ปี 5 ปี
และ v =
2+(-
(3) 2v + u
2(-3)+2
2+=217) + b
3. กำหนดให้ u =
(1) u + v
ŭ tv =
:
·lop.
[]
-1
126
20
*
*
2 | และ v = -4
745
(-4).
+ 5.
จงหา
จงหา
(2) u - v
(4)
u-v=
=
Zu-3v
2
14- 3√ =
(2) v-u
[2-(-3)]
6-7
5.]
-1
*
1-1-9)
3 - (21)
#
[7-1-11
-4-2
5 - b
(3) 5u + 2v
....
: -2
su + 2 √ =
=
11
9
2
#
-5 +14
10 + 1-8).
30 + 10.
40
(4) 3v-2u
=
3 ปี - 24 =
4☑
21 - (-2)
-12-4
..15..........2...
「 231
=
16.
*..
7
4. กำหนดให้ u + 2v =
2 1 และ 2u – v =
-4 จงหา u และ v
6
5
30
x
ŭ + v × 2 j 2 ŭ + 4 v =
-2-2
.1.2-5
หา ผี แทนที่ในอ
.? + (5)
24-V
=
V = 1
7
①-②; zu + 4 √ - 2π + √ = 5 √
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
n>
ดง คอ
8
u =
S+
☑

ページ10:

5. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงซึ่ง a
…..20….+ (-3.b) = - 21.
...a + 2b.
13.
②× 2; - 2a + 4b 2b..
-21
+ b
แล้ว จงหา a และ b
-1
13
b = 5.
a = -3
b = 5.
แทนใน ๏
0.
-a.+ 10 = 13.
-9= 3
a=-3
6. ถ้า a, b และ C เป็นจำนวนจริงซึ่ง a 0 + b -1
C
a-C = 2. =①; c = a +2.
-b-c=-7-
- a + b = -1 ③; b = a-1.
แทนใน
-Q.1.- 0 - 2 - - 2
·2a==b
0
1
0
-2
-7 แล้ว จงหา a, b และ c
a = 3 6699bb9b ①...
0.
แทนใน Q
C=S
-b-5=-7
b = 2
7. จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ เวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ขนานกัน
-8 -6
(1)
23433788
-3
3[1] ขนาน [?]
• a = 3 b = 2 c = 5.
1 3
-2
-9
(2)
2
0 -4
1
-2
-2
6
-4
+84
023
*
-2 3 ขนาน [][] ขนาน
2[
[]
-3 |
-3}] ขนาน..
4
2 3 ขนาน 3
15
coi
ขนาน..
8. จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ขนานกัน
(1) AB มีจุดเริ่มต้นที่จุด A(1, 2, 3) และมีจุดสิ้นสุดที่จุด B(-5, 7, 2)
12
(2) u = -10
10
(3) OC มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิด และมีจุดสิ้นสุดที่จุด C(-4, 9, 1)
4
7 -2
...A.B.=.
=
นี่ =
2
/น
.. เวกเตอร์ .../..
บทที่ 1 เวกเตอร์
31

ページ11:

ขนาดเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติและสามมิติ
a
ทฤษฎีบท 1.4 กำหนด u =
จะได้ว่า นี่ = a + b หน่วย
b
a
ทฤษฎีบท 1.5 กำหนด 1 = 5 จะได้ว่า ul = a + be + c หน่วย
ตัวอย่างที่ 21
จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปนี้
1. u =
-12
5
2. AB โดยที่ A มีพิกัดเป็น (5, -2, 6) และ B มีพิกัดเป็น (8, -8, 4)
A
2.) AB = 8 -5
1.
lul = √(-12)² + 5²
= √144 +25
= √√769
=
13 หน่วย
32
-8-1-2)
IABI =
3² + (-6)²+(-2)²
= 9+36+4
= √49
3
จ
หน่วย
T: (0) →
- วางตัวตาม X
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉากสองมิติและสามมิติ
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย
พิจารณารูปที่ 22 กำหนดให้ 1 คือเวกเตอร์ในระบบ
พิกัดฉากสองมิติที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด จุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (1, 0)
จะได้ว่า i : และ 1 เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย นอกจากนั้น
=
กำหนดให้ 3 คือเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติที่มีจุดเริ่มต้น
อยู่ที่จุดกำเนิด จุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (0, 1) จะได้ว่า j -
เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเช่นกัน
จะได้ว่า
สำหรับเวกเตอร์
a
B
(0,1)
=
และ j
ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติ
ๆ
+b = ai + bj
·8-8-8-8-8
Y
(0,b)+
bj
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
→ วางตัวตาม
i
(10)
รูปที่ 22
X
[a] = ai
= ai + bj
(a,b)
O
ai + bj
ai
(a,0)
รูปที่ 23
X
Y

ページ12:

ในระบบพิกัดฉากสามมิติ กำหนดให้ 1 คือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด จุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (1, 0, 0) จะได้ว่า
1 = 0 ในทำนองเดียวกัน คือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด จุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (0, 1, 0) เวกเตอร์ คือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่ม
0
ต้นอยู่ที่กำเนิด จุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (0, 0, 1) จะได้ว่า j = 1 และ k
a
0
0
=
0 ซึ่งทั้ง 1, 3 และ E เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ดังรูปที่ 24
a
1
0
0
สำหรับเวกเตอร์ | b ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได้ว่า b = a 1 + b 1 + c 0 = ai + bj + ck
→ ไปตาม X
->
ไปตาม
y
J = [i] +
k = 8 ไปตาม Z
C
Z
(0,0,1)+
Fj (0,1,0)
Y
ŭ = ai + bj
(1,0,0)
V = ci + dj
X
รูปที่ 24
C
0
Z
= ai + bj+ck
C
(0,0,c)-
xai + bj + ck
(a,b,c)
ck
ck (0,b,0)
bj
Y
ai+b.
ai
(a,0,0)
X
รูปที่ 25
utv = (a+csi+ (b+dj
u-v (a-c)+(b+dj
- = -ai-bj
สำหรับเวกเตอร์ u = ai + bj ในระบบพิกัดฉากสองมิติ เราจะได้ว่า นี่ = a + b” และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี
ทิศทางเดียวกันกับ u = a + bj คือ
1
-(ai + bj)
Va²+b²
ในทำนองเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ u = ai + bj + ck จะได้ว่า Jul = a + b+c และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี
+
1
=
ทิศทางเดียวกันกับ u = ai + bj + ck คือ น
=
√a² + b² + c²
(ai + bj + ck )
+
ตัวอย่างที่ 22
จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. u = 7ì − 4j
2. AB โดยที่ A มีพิกัดเป็น (-2, 3, 1) และ B มีพิกัดเป็น (0, 2, -1)
1. 1ū| = √7²+(-4)² =√49+16 = 65
=
65
√65
X
=
√65
เร
เวกเตอร์ 1 หน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ นี่
..
Ma √65 (71-4j) = 7√65 - 4√65
S
65
เร
j
2. AB [2] • [A]
=
0-(-2)
- 3
-1 -O
|AB|= √2²+(-1)² + (-2)²
IABI
= 4+1+4 = 9 = 3 หน่วย
√ :
.. เวกเตอร์ 1 หน่วยทีมีทิศทางเดียวกันกับ
d
a (21-j-2k)-1-1-**
บทที
1 เวกเตอร์ เ
33

ページ13:

1.หาเวกเตอร์ 1 หน่วย : ülül
2. หา 1
นี
3. นำ ค่ำในข้อ 2 คูณกับเวกเตอร์ นี่
1 หน่วย + ขนานกับ น
1ū
ตอร์ที่ได้ในข้อ 3 จะมีขนาด 1 หน่วย
และมีทิศทางเดียวกันกับ นี่
* ถ้าต้องการทิศตรงข้ามกับ 4 ให้ตอบ
นิเสธของเวกเตอร์ในข้อ 3
13
ถ้าต้องการหาเวกเตอร์ขนาด a หน่วยที่มี
ทิศทางเดียวกันกับ ū ให้นำ a คูณกับ
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของนี้
เช่น เวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ นี คือ 20
ถ้าเป็นเวกเตอร์ขนาด a หน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ นี
ให้ตอบนิเสธของ E น
เช่น เวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ นี คือ -2 นี

ページ14:

34
ตัวอย่างที่ 23
กำหนดเวกเตอร์ u = -4ì + 3k เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
| =
1. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ น หา 1 หน่วย
2. จงหาเวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ น
1. ) | 4 | = (-4) + 0 + 3 = 5 หน่วย
2.)
1
3.)
| |
Tul
นี
=
=
1
5
=
.. เวกเตอร์ 1 หน่วยที่มีทิศตรงข้าม
d
Åǝ - (+) = 1
S
หานิเสธ
2. หา 1 หน่วย
X2
1;
จากข้อ 1 ; 1 ที =
-
4 +
S
S
1 หน่วยทิศเดียวกับ น
:: เวกเตอร์ 2 หน่วยที่มีทิศทางเดียว
กันกับ นี้ คือ 2x ( สี )
-
-i +
ในตัวอย่างที่ 23 มีข้อสังเกตว่า
ū = -4i + 3k = -4i + oj + 3k
นอกจากนั้น เวกเตอร์ที่มีขนาด a หน่วย และมี
ทิศทางเดียวกันกับ นี หาได้จากการนํา a คูณกับ
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ นี ซึ่งจะได้เวกเตอร์ Cu
และนิเสธของเวกเตอร์ Eū คือเวกเตอร์ที่มีขนาด
a หน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ นี
Check Yourself 10
กำหนดเวกเตอร์ นี้ เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. ถ้า 1 = 10 หน่วย แล้ว นี้ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ น
2. ถ้า 1 = 5 หน่วย แล้ว นี้ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ น
3. ถ้า 3น เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้ว || = 9 หน่วย
4. ถ้า 2 เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้ว ||
= หน่วย
5. ถ้า นี้ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ F แล้ว v = |V|u
6. ถ้า u = ai + bj เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยแล้ว a + b = 1
=
7. ให้ 6 เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า u = (cos 8) i + (sin 0)j แล้ว นี้ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
ค33231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
=
8_j + k
5
S

ページ15:

แบบฝึกหัดที่ 1.5 (ข)
-31+7j
V =
√58
√√58 × √58
√58 (-3)+ √58x7j
58
..x..
58
358
58
+
758
58
1. จงหาขนาดของเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) u =
6
8
ū bitsj
|UI=J36469.
=
J.10.0..
(3) w = 8i – 15j
10
: 10 : zi
|il: J64+225.
1 :
I
= 289
6
3
(5) u =
2
1
289
(68)
1 x 4 /
S
(8 - 15 )
J289 ..8...-...55+):
289
(2) v =
-3
->
|V|= [9649.
(4) s = −−
58
i-
1/2-1/2
SR-J2
...-.
2
2
-2
(6) p =
9
-6
bit.j.t.2.k.
1
M√342²±² + 1 j + z k
36 +9+4.
(7) v = 41 + 7j – 4k
[ √ ] = √4 ² + 7 ² + 4².
lül
= √16 +49 +16 = 9.
1 = 4i 2j 4k 4.
:
รี
J
p = -2i + aj - bk
1.pl-2² 9² + (-b).
=
44.80+ 34 = 1.1 หน่วย
...........2.2...............
40
(8) w = -9j+15k
*.
2. จงหาขนาดของ AB เมื่อกำหนดพิกัดของจุด A และจุด B ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) A(0, -4) และ B(-3, 1)
4-3
.AB =
.0...2..
3+1.
AB = √1+4+7b = √21 rqbar
(3) A(3, 2, -1) และ B(4, 0, 3)
AB
4-3
··0-2-
925 =J34 หน่วย
-gi 15.k
......
3√34 3√34 √√34
(2) A(-5, -1) และ B(4, 3)
AB = [4-(-5)] = [2]
3-(-1).
AB : J8141 :
√97 98.96.2.2
(4) A(5, -3, 7) และ B(-7, 0, 11)
3. ให้ u = 11ì + 8j และ v = 4i – 16j จงหา |u + v | และ Iu – v|
โป
+
2.25 +64 =
.AB. =
-7-5
44...2.
AB E J199.49.1.1.6 : 13 หน่วย
28.9 1.7 หน่วย
sk.
√34
=
u - v =
= √7²+24²
.25....
หน่อย.
บทที
1 เวกเตอร์ เ
35

ページ16:

4. ให้ u = 41 – 2j และ v = -5i − 4j + 2k จงหา Ju + VI และ Iu - v|
=
=
| ū ± √ | = √√81 ± 3h+4 = 11 9896 ǝ?).
Tű-ỷl = √1+4+4. = 3 98.96281...
อย
5. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยตอบในรูปของ i และ j
(1) ü = 9ì + 12j
ICI = 81 + 144 = 15 หน่วย
1 ū = 31°
K
S
6. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยตอบในรูปของ i, j และ K
(1) ū = 8ì – j + 4k
MAIL : J6441116 = 9 หน่วย
(2) v = 23i + 2j
|UL = 124 4 = 4 หน่วย
✓
เบี|
2
(2)v = -3ì + 2j – √5k
x
| |
1 v . I + 11 st #
32 32
sk
7. กำหนดจุด P(6, -1) และ Q(-2, 7) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ PO โดยตอบในรูปของ 1 และ j
.PQ.
1-81 8j
+
82 842
=
✓ j
√2
2
1
www.....
C = 8i - j
4k
|นี|
9
9
=
PC - TEST TI
=
IPQI
.........
PQI = √√64+64 = 8√2
8. กำหนดจุด P(2, 2, 1) และ Q(-1, 3, -2) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ PO โดยตอบในรูปของ i, j และ k
P Q = [] } ] [ }
3-2
PQ = - 3i+j - 3 k
]
||PCL = J 9. 14.9.
IPQI
= 19
9. ให้ \ = 41 − 3j + 2k และ v = -i + 2j + k จงหา
(1) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ u + v
:
✓ ✓
3k
√19
√19 ☑
19:19 หน่วย
1 x ( ŭ + v ) = ³i j + 3k.
u =
v=
131 -j 13k
Tutvi
J19
(2) เวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ
21 –
1 - v
x
(2ū-v)
:
24
qi - aj tsk
+
zu-vl
4.1.5.
154 √15.4
หา 2 หน่วยทิศตรงทีม
|| 2ū - √ ] = √√81+by+9..
.
15.4.
(
3k
.....
154
√154
√154 √154 √154
36
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม