ページ3:

#: ทฤษฎีบท 1.7 ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ a และ b เป็นสเกลาร์ จะได้ว่า
|u + v2 = |u|2 + |v|² + 2(u · v)
Tu - v12² |u|2 + |v|2 – 2(u + v)
|au + bv|2
=
aq|u|? + b [v]? + 2ab(u · v)
laubv² = a²u² + b²|v|² - 2ab(u v)
จากทฤษฎีบท 1.7 น้ำใสได้ข้อสังเกตดังนี้ค่ะ
น้ำพุเข้าใจแล้ว น้ำใสนำสองสมการแรก
ในทฤษฎีบท 1.7 มาบวกและลบกัน
lu + v12 + u - Vl2 = 2|u|2 + 2|v|
|u + v|? - u - V12 = 4(TV) =
-
+ 2 (1.1) น้ำพุขอชมว่าน้ำใสเก่งมากเลยจ้ะ
ตัวอย่างที่ 29
กำหนดให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ Iu + v = 7, || = 4 และ |V| = 3
จงหา ū · v
ann lu+v=14 | ² + | v | ² + 2 (ú v )
จะไ
7²
2
2
1
: 4
t
+ ³ ³ + 2( ū . v )
+2
2 cu. v)
ตัวอย่างที่ 30
49 : 25
2 (4)
: 24
: 12
#
กำหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ |u| = 3, |V| = 1 และ Ju + v = 2 จงหา น – v|
| 4 + V + 4 + 1 = 2 || 2 ||
2² + lŭ - 1² = 2(3² ) + 2(9 ²)
1 ŭ -√ 1² = 18 + 2 - 4
lu-vl² = 16
Tū-v1² = 4
=
ตัวอย่างที่ 31 กำหนดให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ u + v = 7 และ 1 – V = 5 จงหา น - 20
Tū + √ 1²-1ű - v 1² = 4 ( u⋅ v )
72-52
24
.
= 4 (v)
.
-
= ( ū • v )
6
:
(น.บ.)
... นี่. 20 - 20 น. )
= 2(6)
: 12 *
41
บทที่ 1 เวกเตอร์ AT

ページ4:

ทฤษฎีบท 1.8 ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ และ 8 เป็น
ขนาดของมุมระหว่าง นี้ และ V ซึ่ง 0° ≤ 0 ≤ 180° (มุมระหว่างเวกเตอร์ หมายถึง มุมที่ไม่ใช่มุมกลับ ซึ่ง
มีแขนของมุมเป็นรังสีที่ขนานและมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง)
u · v = |u|v|cose
จะได้ว่า
ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ โดยทฤษฎีบท 1.8 จะได้ข้อสังเกตที่น่าสนใจดังนี้ 1. : lvlcos e
1. จาก u · v = |u|v|cose จะได้ว่า
u. =
cos 0 =
u.v
|u||||
ซึ่งเราสามารถใช้สูตรข้างต้นหามุมระหว่าง
u และ v ได้
ตัวอย่างที่ 32
ถ้าตั้งฉาก 4 ปี - vices 40
2. นี้ ตั้งฉากกับ v ก็ต่อเมื่อ u · v = 0
3. จากทฤษฎีบท 1.7 จะได้ว่า
จงหาขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
= 0
- ถานีบี
ไม่เป็นเวกเตอร์ (
uh vu v = 0
| u + v |² = | u |² + | v |²+2|u||v|cos
|u – v2 = |u|2 + v2 - 2|u|v|cose
2
1. u =
และ v =
-2
0
√3
-1
2. u =
-2 | และ v = 0
-3
Q2
1.) 4. ปี 2 (2) (3) + (-2)(0) -6
lul√22+(-2)² = 2√2
=
+
: 3
:. arccos (_)
cos o u. v
Tullvi
6
มุม 150°
4. V = (-5 + 0 - 3 )
: -43
lul = √3+4+9 = √16 = 4
||
cos e =
|23||3|
=
✗
× √√2
=
6√2
× √2
cos e = J2
=
= √1+0+3 = √4
u. v
- 43
141121
: -43
8
:-3
2
0 =
45°
0 =
150
2
= 2
42
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ5:

จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ u และ v V ในแต่ละข้อต่อไปนี้ตั้งฉากกันหรือไม่
ตัวอย่างที่ 33
1. u =
2
-3
2. u =
9
และ v =
4 - 0 = ( 2 ) (9) + (-3) (6) = 0
.
[3] ตั้งฉากกับ [1]
6
2 3 7
-3
และ v =
1
5(2)(1) + (-3) (5) + (7) (2) = 2+ (-15) +14=1
2.
ไม่ตั้งฉากกับ [1]
ตัวอย่างที่ 34
กำหนดให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ โดยที่นี่ = 5, v = 10 ถ้า (2u - V) - (u + 2V) = 5 แล้ว จงหา
=
.
|u + v|
2ūй +4μv -ův - 2VV = 5
lu+v² lū² + 2 + ²
2lul+ 3uv-21
= 5
:
lu+v 5+2 (5) + 10
แทนค่า
lutv: √25
ตัวอย่างที่ 35
2 (5) + 3 ปี - 2010) : 5
3ūv
= 15
ův
= 5
| = 3, Iv | = 4 และขนาดของมุมระหว่าง น
กำหนดให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ Ju| =
และ V เท่ากับ 60° จงหา Ju + v) และ u – v = 13
|ü + V = |q||
2
t
2
:
|| + 2 |||| cos @
+ 2 (3)(4) cos 60
2
= 3
t
42
= 9
+ 15
+
2 (3) (4) (2)
= 37
.
√377
|ū - | = || - || - |||| cos e
=
"
9
= 13
32
= 13%
+
t
+ 16
2
-
2
2 (3)(4) cos 60
12
1
213114
บทที่ 1 เวกเตอร์
43

ページ6:

44
ทฤษฎีบท 1.9 ให้ u, v และ w เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ จะได้ว่า
ตัวอย่างที่ 36
√u + v +
|u + v + w/?
|u + v − w|2
=
=
|u|2 + v|? + |w|2 + 2(u · v) + 2(v · w) + 2(w· u)
.
|u|2 + |v|2 + |w|2 + 2(u + v) - 2(V · w) - 2(w · u)
u
กำหนดให้ u, V และ W เป็นเวกเตอร์ซึ่ง นี้ ตั้งฉากกับ V, W ทำมุม 60° กับ น และ V ถ้า || = 3, v = 5
และ |w| = 8 แล้ว จงหา Ju + v + w|
lu+v+wl² = lu²+11² + 1 WI² + 2 (U · V ) + 2 ( V. W) + 2( W. u)
+ 21uIIVI COS 90' + 2 |V||~| cos 60 + 2 | w |lu| cos bo
= lu² + 1²+
= 9+ 25 +64 +2 (3) (5) 0
= 162
+ 2(5) (8) (1) + 2 (8) (3) ( } })
lu+vtwl = √162
= 92
Check Yourself 12
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด E
ดังรูปที่ 28 จงพิจารณาว่าแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. AB · AE = 0
2. ED · EC = 0
.
3. EB · CB = 0
4. CB · ED = 0
=
5. ED · EB = -|ED ||EB|
6. EC - AE = |AE|2
ปัญหาชวนคิด 3
0
กำหนดวงกลมหนึ่งหน่วยที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง จุด P Q และ R อยู่บน
เส้นรอบวงโดยที่ QR เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังรูปที่ 29 จงหา
1. PO . PR
2. (OP · OQ) + (PR · OQ)
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
B
รูปที่ 28
รูปที่ 29
R

ページ7:

1. กำหนด u และ v ในแต่ละข้อ จงหา u · v
(1) u
และ v =
-4
u. V = (-2) ( 5 ) + (7) (-4).
- - 10 - 24.
(3) ū = 5i + 9j และ v = -3i +
= (5) (-3) + (9)(4).
u.v.
= -32..
แบบฝึกหัดที่ 1.7
(2) u =
=
- 4j
(4) u =
-8
และ v =
ปี 5
9
4
= (-8) (9) + (-7) (4).
=-72-2.8.
- - 1.0.0.
-8ì + 6j และ v = 3ì + 4j
ŭ · ÿ = ( 8 ) ( 3 ) + (b) (4).
=
15 +24
9
-2
(5) u =
3
และ v =
1
-7
4
=
24. £.2.4.
0
0
7
(6) u =
2 | และ v =
6
= (1) (-2) + (3) (1) + (-7) (4).
2+3-28.
=-27.
+
(7) ū = 3i + 5j + 4k และ v = 6i − 2j + k
u. v =
= (3) (6) + 5 (-2) + 4 (1).
- 18 - 1.0.0.4.
= 12.
J
u. V = ( 0 ) ( 7 ) + ( 2 ) ( 6 ) + 5 (-2)...
= 0 + 12-10.
= 2
(8) u = -2j + 7k และ v = 8i + 9j − 3k
u. V = (0) (8) + (-2) (9) + (7) (-3)..
- 0 - 18……….2.1..
=-39
2. กำหนดจุด O เป็นจุดกำเนิดในระบบพิกัดฉากสองมิติ จุด A(-2, 4) และจุด B(3, -1) จงหา OA - BO
OA = (-294) OA · BO = (-2) (-3) + (4) (1)
8.0 = 0.39.12..
= b.t.4..
= 1.0...
.
3. กำหนดจุด A(-3, 1, 2), B(1, 0, -2) และ C(4, -3, 5) จงหา AC - BC
AC = ( 7 9 - 493)....
...BC = (39 -39.7).
AC · BC = (7) (3) + (-4) (-3) + (4) (1).
.
21.4.1.2.1.21
. 54
4. กำหนด u = i + 2j + 3k และ v = 3ì + 4j – 4k จงหา 2u · 30
= +
4
2u :
9
12
3V =
-
24 · 3√ = (2) (9) + (4) (12) + (b) (-12.)..
18+48 +(-72).
=
-12
บทที่ 1 เวกเตอร์
45

ページ8:

5. กําหนด u =
3
2
v =
และ w =
จงหา
-5
.
(1) (u v)+(u w)
.
= [(3)(2)(1)(7)] + [(3)(-4)+(1)(-5)]
= [(b+7)+(-12-51].
...13-17.
= -4
(3) v · (3w – v),
=-28-154
= -1.82.
6. กําหนด u =
(1)
-1
3
4
3
v =
5
และ w =
-1 จงหา
-3
6
-2
v)-(w v)
= [(-1)(3)(3)(5)+(-2) (-3)]-[(3)(4)+(5)(-1)+(-3)(b)]
= (- 3 + 15 + b)-(12-5-18).
= 18-(-9)..
46
- 27.x
(3) (2u + w) · w
-2
.2.4.=
-4
(2)(v + w) · (v + w)
=
[8] · [3]
(4) (u +
+ v) · (u – v)
:
(5)(-2) + (8)(2).
เ
[8] [41]
= (5)(1) + (8) (-b)
= 5-48
-4.3...
+
(2)(u + v) · (v + u)
4.4
(4) (u · v)w
[}]
= (2)(2)† (8)(8)+(-5) (-5).
= 4 + 64 ± 2.5.
= 93.
•u• vw=
= (-1) (12) + (3)(-5)+(-2) (-18).
=
- 12 - 15.4.3.2.
- 8 - 5.4.1.2.......15...
7. จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์แต่ละข้อต่อไปนี้ตั้งฉากกันหรือไม่
(1) ū = 6ì + 4j และ v = -2ì + 3j
=
+
นี - V = 0
(b)(-2)+(4)(3) = 12 +12=0
.. นี ตั้งฉากกับ ท.
(3) ü = 41 – 2j – 4k และ v = i − 2j + 2k
+
(4) (1) + (-2)(-2)+(-4)(2) = 4+4-8=0
....ตั้งฉากกับ ท.
: 5
(2) ü = -21 + 6j และ v = 4i + 2j
(-2)(4)(b)(2) = -8 + 12 = 4.
:. นี้ ไม่ตั้งฉากกัน...
(4) u = 4j – k และ v = 10ì + 2j + 9k
=
+
+
(0)(10)+(4)(2) (-1) (9) = 8-9 =
.. นี่ ไม่ตั้งฉากกัน มี
8. ถ้า n = i + (a + 1)j – 3ak ตั้งฉากกับ V = -2ai + 2 + k แล้ว จงหาค่าของ a
V
(a) = [29]
=
ŭ · Ĭ = (1) (-20) + (a+1)(2)+(-30)(1).
O………....20...20......2..... 30.
3Q......2..
a = 2
3
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ9:

cos C:
ů.v
9. จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
3
9
2
-3
(1) u =
และ v =
(2) u =
และ v =
6
-2
39
นี่.....43.
..co.s..8...JTall 192
1μl = √ √4+9 = √13.
cos es 0
1521
L.v.I.
: 81 + 36
cose
IV1 = √9+4 = √13
13.53.
1.1.7
39.152
1521
u.
1:29 + 12 = 39..
1521
0 = 0.
39
M-V = (-b) + (b) = 0.
-3√3
COSO = 0
C = 90°
1
(4) u =
1 =
2 I และ v =
2√3
(3) u =
0
-1
และ v =
|นี: J2
| V | : J2
น.V: 1.
cos e : 1
2
LME 4.2.
IVI√15
cos e : 0
C : 40
0 = 60°
L. V : 0
-
10.ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ |u + v = 10 และ u – v = 6 จงหา น · v
lů + v l² - lů - v 1² = 4 l ū ū )
100 - 36
:
.4 ( u · ˇ )
= 64
4
= .1b.
=
11.ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ Iu = 4, v = 6 และ u – v = 2 จงหาน - V
| ū – v² = |ū² + | v | ² - 2 ( μ · ÿ ).
4 = 16. + 3b6
(น. )
= 52
2
(ū. v) = 48 = 24
12.ให้ น และ ปี เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ 1 = 7, v = 3 และ 4 - V = 10 จงหา u + v
√ ŭ + √ √ ²² = ŭ ²² + | v | ²² — 2 ( μ · ÿ ).
= 499 20.
Jū + √ 1² = 78
13.ให้
lut√
√78
=
u และ v เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ Ju| = 4, VI = 6 และ u – V = 2 จงหา น · v
|ū · √² = |ū² + | √ | ² - 2 c ū · ˇ ).
(นบี)
.......... 3 - 2 (4)
=
48
2
04
บทที่ 1 เวกเตอร์
47

ページ10:

Tullvicos 900: 90°
น. V = 0
14.ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก โดยที่ 1 = v = 5 และ น ตั้งฉากกับ : จงหาน + v
=
t..2..
0
: 25 + 25 to.
lu + vl² = 50.
Tutvl
.........ge
15.ให้ น, V และ W เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ถ้า || = v = 1, u - V = V3 และ 4 + V + x = 0 แล้ว จงหา ||
=
9850
| ŭ + √ ]² = | - w² = |ŵ|² lū+ v ľ² + |ū - √ 1² = 2 × l ū 1² + 1 √ í ²)
3.
= 1 + 1 - 2 1 ŭ · ˇ.).
2. (u.v.).
u + v ť i = 0
A:0
:
= 2(1²² + 1²).
1.1.1.1
w² lū+ÿ² = 1.
LALE 1
= 1 = W.
16.ให้ น = 1 + j และ v เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ ถ้า น · V = 2 และ u + v = √26 แล้ว จงหา v ที่เป็นไปได้
ทั้งหมด
a = 2-b
Tū±√] = √(1 +α)² + ( 1 + b) ²
2b = (3-b)² + ( 1 + b)²
.. 26 = b² - bb + 9 + b² + 2 b + 1.
= 2b² - 4b+ 1.0 - 2b..
...0 = 2
CV = at.b..
√2b = √(1+a)² + (1 + b)²
.2b = (1 + a ² ) + ( 1 +b)²
2.
= a+b=@bb. 96..
:
.2b² - 4b - l.b....
• 2 b = (1 + 2 - b) ² + (1+b)².
: 2cb² - 2b - 8.).
17.ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ถ้า นี้ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย
|u +
+ v|
31
ที่เป็นไปได้
u - v
21
Jūl 1
I Cb - 4)(bt 2 ) = 0
b.
: 4.9. - 2....
981 a; 2 = a+b..
b= 4.
9 = 2.
be - 2... ...G... ..
และ นี้ ทำมุม 60° กับ v จงหา ทั้งหมด
ไม่จําเป็น
√(√)² + (√2)² = 2(1² + 1²) lū+ √² - 1ū- v² = 4ŭ v = 4 l ū l l v c o s e
เน๊ - V.I = J.21.
52
= 2 ( 1 + lvl ²).
.2.b.
= (1 + TVI ²)
= 25
= 4 ( 1 ) IVICOS Lo
1.0
= 4. (1) J.VI
JV
= 5
18.ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน ถ้า น + V ตั้งฉากกับ น - 2 จงหาขนาดของมุมระหว่าง นี้ และ V
( ū ƒ v ) ( ū - 2 Ñ ) = 0
- 2
Jūl² - 2ŭ - v tuv - 2IVI ² = 0...
μ v = lullvicose
Jul² - uv - 2 lvl ² = 0 bb n gb 141
จากโจทย์ เนียะเพียง 2.4-2.1 - 0.
=
cos e = -Iv²
IVI²
cos 0 = -1.
8. : 180.
19.ให้ น, V และ W เป็นเวกเตอร์ซึ่ง || = 3, V = 2 และ w = 1 ถ้า ū + V + 4w = 0 แล้ว จงหา น · V + V W + w · u
CA V + AW = 0
ū + ÿ = - 4. W
Jūtÿ l² = 1-4 W12 —.
แทน ........................
9 +2 l ū · ÿ ) + 4 = 16(1)..
= -4 (1) ²
:- เ -0
34 (-4) =
2
5.
2
2
48
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม