ページ1:

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน
การเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน เราจะเขียนลงบนระนาบเชิงซ้อน (Complex plane) เรียกแกน X ว่า แกนจริง
(real axis) และเรียกแกน Y ว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis)
เช่น
สำหรับจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi เราสามารถเขียนกราฟแทน 1 ได้ 2 แบบ คือ
1. จุด (a, b)
2. เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด (0, 0) และมีจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (a, b)
จำนวนเชิงซ้อน 4 + 3i แทนได้ด้วยจุด (4, 3) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด (0, 0) และมีจุดสิ้นสุดอยู่ที่
จุด (4, 3) ดังรูป
Y
Y
44
4+
(4, 3)
(4, 3)
.
X
X
กิจกรรมฝึกหัดที่ 2.12 กราฟของจำนวนเชิงซ้อน
1. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z = 1 – 2i และ z = −2 + 3i
1) จงเขียนเวกเตอร์แทนจำนวนเชิงซ้อน z, และ Z ในระนาบเชิงซ้อนเดียวกัน
2) จงเขียนเวกเตอร์แทนจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นผลบวกของ 2 กับ 2 ในระนาบเชิงซ้อนเดียวกันกับข้อ 1) = -10
3) ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ที่แทนจำนวนเชิงซ้อน z, และ Z, ตามลำดับ จงพิจารณาว่า เวกเตอร์ที่นักเรียนได้ในข้อ 2)
เท่ากับ u + v หรือไม่ เพราะเหตุใด
22
Y
2,+22
N
X
บทที่ 2 จํานวนเชิงซ้อน
83

ページ2:

พิจารณากราฟของสมการ z = 1 เมื่อ r เป็นจำนวนจริงบวก
ให้ z = x + yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง
จาก
จะได้ว่า
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
z =
r
+ y'
=
r
x? + y?
=
r²
ดังนั้น กราฟของ z = r เมื่อ r เป็นจำนวนจริงบวก จะเป็นรูปวงกลม จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, 0) รัศมียาว r หน่วย
2. จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน 2 ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
1) . |z| = 3
Z
กราฟเป็นรูปวงกลม
จุดศูนย์กลางอยู่ที่
→ X จุดกำเนิดรัศมี 3 หน่วย
2) |z| = 4
กราฟเป็นรูปวงกลม
จุดศูนย์กลางอยู่ที่
4
·x จุดกำเนิดรัศมี 4 หน่วย
3) _ _ _ |z| > 2
4) |z| ≤ 1
ให้ z = x + yi, z = a + bi และ r เป็นจำนวนจริงบวก
จะได้ว่า z − z = (x − a) + (y – b)i
พิจารณา
จะได้
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
r
|z - zl =
√(x − a) + (y − b)Â
-
=
r
=
r²
(x − a)^ + (y − b)
ดังนั้น กราฟของ |z – z | = r เมื่อ r เป็นจำนวนจริงบวก จะเป็นรูปวงกลม จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่แสดงจำนวนเชิงซ้อน
-
ในระนาบเชิงซ้อน และรัศมียาว 1 หน่วย
Zo
3.
1) |z − 1 + 2i = 1
1+
2-
3.
จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน 2 ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
| z - 1 + 2i | = 1
ญ
|z-(1-21)| = 1
กราฟเป็นรูปวงกลม
**จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (1,-2)
จุดกำเนิดรัศมี 1 หน่วย
99
A
1
2) |z − 2 + i\ = 2
1+
2
|z− ( 2 − i) = 2
กราฟเป็นรูปวงกลม
*จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (−2, 1)
จุดกำเนิดรัศมี 2 หน่วย
84
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม