減衰振動

200

Phyphy

2025.12.21 公開

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ノートテキスト

ページ1:

一般解の第二項は非常にゆっくり減。
B,B2の大きさを符号によって3つに分けられる
x
t
x
t
t
(ii)抵抗が臨界の場合 B=wo
aニーは重解
=
x=uept. 定数変化法により
x=u(t)epとすると
i = u(t) e- ß³x + u(t) = (-3)=*
+u(t)x(-ß)
=
- (LCA) - (1) ß) ept
* = (Ü (A) - Ù (A) (³) eft
+(a(t)-u()()×(-) ex
= (uct)-2u(t)+t^)ept

ページ2:

(1) β-wo,つまり Bwoのとき、
これは、抵抗が弱い場合に対応
2
8=1wi-βとおくと、
x= -ß±it
よって独立な解は
x₁= ė (-ß-io)*, x2=ė (-ßtio)t
=-(p+iost
したがって
e
x=Cxi+Czx2
=e-(p-irst
オイラーの公式
=ept(ciciox+cueiot)
Czecat)
€² = cos +isin
= EPA { C.(cos(-ot)+isin(ot))
+Czkosottisinat
not)}
= e^{(citc.) coset-(Ci-c.) simox}
{内について

ページ3:

(ii) ß³- wö so, 7zy ß>workz
つま
抵抗が強い場合に対応
> = ドームとすると U"-ß²-w'
-
λ=-3±2=-(B+~)
(ß*~)
37070
3-070
一般解は、
正
x=Bieipotent
この解は振動しないで減衰する
+ B₂e (p-ust
"
ただし、BDwoast.
→
1
p-v=p-√p-wi
- p- √(1-x)
=
- P -p (1-x) =
=
= p-p + w =
= Wo
2
- won awo
Wo
2
となるから.

ページ4:

kx
mmmmm
m
運動方程式
0
bi
mx = -px-bx
X+*ßx+w:x=0
x=entとする。
λ = -3 ± √ √ B² - wo²
根の中のβームを
(i)
x
空気抵抗
x = -k
→x
m
(23=1, with)
(ii) (ii)
負、正、0で場合分け

ページ5:

これらt x+2+=0に代入
x + ² ß x + w ° x = 0 1 = π tin
(u(t) - Zix(t) ß³ +
x)) ept
+ 2 (3³ (1/(x) - u(x) (3) e- pt
:w." n(t) e-pt
+
ü
= 0
( Ü (t) + u(x) p² - 2ult) p² + woult)) eft =0
ü(±) - u(x² + w. f(x)) ep* = 0
(Ü
よってU(火)=0となるので
(B=w.)
ù (t) = A,
u(t)=At+Bを得る。
一般解は
x= = (A+B) eßt
11
この減衰が最も速い

ページ6:

&
- (C₁-C₂)
(CITCL)
0
{ } = As in (at + 0)
= A sin (rx + 0 + 1 - 1)
= A cos (ax + 0 - π )
=
A cos (attα)
t=0のときス=0ではないので、
cosの形式で表しておく
x=Aept
x = A ēpt cos (attal,
Aeft
減衰振動
t