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等差数列 3. 倍数と等差数列
●pでわるとrあまる整数の数列は、はじめの数が で、 pずつ増える等差数列
● 条件が2つある場合には書き出すことで最初の数を見つけ、以降はわる数の最小公倍数ずつ増えていく
(1)倍数に関する問題
pでわるとあまる整数の数列
はじめの数(初項)で、ずつ増える等差数列
(例)6でわると2あまり、8でわると4あまる整数を小さい順に
ならべます。300に最も近い整数は何ですか?
(解)
①最初の整数 (初項)を求める
「とにかく書き出す」のが手っ取り早い
(2) 複雑な問題
(例) ある規則で並んだ100個の分数があり、 約分できる分数は全て
約分すると次のようになりました。
113
2'2'8
537 9
4'4'2
,2,1
8
•,50
約分したあとの100個の数のうち、 整数は何個ありますか?
(渋谷教育学園渋谷中学 / 2026年)
でわると 2
8
14 20 26 32 38 44
50
2あまる
4 12 20 28 36 44
52
8でると
4あまる
最初の整数 (初項) は20とわかる
②増える整数 (公差) は、 わる整数の最小公倍数
公差は、 6と8の最小公倍数となる24
3 目標となる前後の整数を調べて、近い方が答え
初項以降、 (300-20)+24=11あまり16なので、
この数列の12番目 : 20 + 24×11= 284 初項を除くと11番目
あるいは、300-16=284 でも良い
この数列の13番目 : 284 + 24 = 308
となるので、 300により近い整数は、308
(解) 分子は、1,2,3,4,5,6,･･･ と連続する整数、
分母は、2,4,8 の3個の整数のくり返しになっている。
約分して整数になる分子は分母の倍数になっている
ことに着目すると、 分子を3個区切りで見たとき、
(i) 分子が3で割ると1あまるとき、 分母は2。 分子は初項4、
公差は、2と3の最小公倍数である6の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-4)+6=16より、 初項も含めると17個
(ii) 分子が3で割ると2あまるとき、 分母は4。 分子は初項8、
公差は、4と3の最小公倍数である12の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-8)+127あまり8より、 初項も含めると8個
(iii) 分子が3で割りきれるとき、 分母は8。分子や初項24、
公差は、8と3の最小公倍数である24の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100−24) +243あまり4より、 初項も含めると4個
前の数の次の数は、
公差をたす
したがって、全部で 17 +8 + 4 = 29 [個]
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|2026/2/28
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等差数列 4. 等差数列の応用
だんだん数が減っていく等差数列の場合、 n番目の数 = はじめの数公差x(n-1)
● 群数列は、 数列をある一定の規則にもとづいてグループに区切った数列
(1) 減っていく等差数列
だんだん減っていく等差数列の場合、
番目の数はじめの数公差x(n-1)
(初項)
数
(例)あるきまりにしたがって、下のように左から順に分数をならべたとき、
はじめて1より大きくなるのは何番目の数ですか?
1
3579
100'97'94'91'88'
(解)はじめて1より大きくなるのは、分子〉分母となるとき
分子は、 初項1で2ずつ増える等差数列
分母は、初項100で3ずつ減る等差数列
なので、数列が1つずつ進むごとに2+3= 5 ずつ差がつまる
+2 +2 +2
分子
13 5
分母
+2
100-199
94 97 100
-3
-3
最初、 100-1=99の差があるので、 99÷5=19あまり4より、
20番目(初項を除いて19番目)の次の21番目で分子> 分母となる
分子: 1 + 2×(21-1) =41
分母:100-3×(21-1)=40
旅人算の考え方を
41
したがって答えは
40
応用
(2) 群数列
> 群数列 数列をある一定の規則にもとづいて
グループに区切った数列
群数列を解く場合には、試しに色々計算してみて、
ルールを見つけることが大切
(例) |1|2,3,45,6,7,8,9|10,
【ルール】 群の中の数の個数は、 1個 3個 5個 ・・・
となり、 奇数の等差数列
1112, 3, 4 1 5, 6, 7, 8, 9 | 10, ...
|1|2,3,45,6,7,8,9|10,
1個
2個
3個
(例) 上記の群数列で、 10番目の群の中の数の個数は?
(解)1+2×(10-1)=19個
【ルール2】群の最後の数は、 1,4,9, ・ となり、平方数
...
|1|2, 3, 4 | 5, 6, 7, 8, 9 | 10, ...
=1x1 = 2x2
= 3x3
(例) 20番目の群の最後の数は?
(解) 20×20=400
(例)200は、何群の何番目ですか?
(解)14×14=196、 15×15=225なので、
15群の4番目
196 | 197,198,199,200
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等差数列 - 【参考】 等差数列を数学で解く
● 数列は高校(数学B/2022年度以降)で取り扱い、 等差数列はその入門として出てくる
(1)数列
(3) 数列の和の公式
数列: ある数から始めて、 2番目、 3番目、・・・と順に
数を並べたもの
c=nc
(c: 定数)
項: 数列に含まれる各々の数のこと。
k=1
最初から順に、 初項、第2項、第3項、・・という
一般項: 数列の第n項がんの式で表されているとき、
その第n項のこと
1
n
1
k=1
k=1
n
数列の表現方法
数列{an} = a1,a2, A3, ......, Ans.
初項
一般項
k=1
k=1
(4) 等差数列
k=1
_k=1/2n(n+1)
k2=ln(n+1)(2n+1)
(ak+bk)= ak+ bk
n
cak=c
ak
k=1
k=1
有限数列 : 項の個数が有限である数列
▼項数: 有限数列における項の個数
▼末項: 有限数列における最後の項
無限数列 : 項の個数が無限である数列
(2) 数列の和
シグマ
Σ: 数列の和を表す記号
ak = a1+a2+a +... + an
k=1
> 等差数列 : すぐ前に一定の数 (公数)dを加えて
得られる数列
等差数列の一般項:
初項α、 公差dの等差数列の第n項は
an = a + (n-1)d
等差数列の和:
初項α、公差d、項数nの等差数列の和Sは
n
Sn = ak= {a + (k-1)d}
k=1
k=1
1
=an+d=n(n + 1) - nd
=120-
{2a+(n-1)d}
an+1 = an + d
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