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Z40を原点とする座標平面上において, 3点 0, A (8,0), B(0, 4) を通る円をCとする。 (1) Cの方程式を求めよ。 (2) Cの中心をDとし, 点AにおけるCの接線をlとする。lの 方程式を求めよ。 また, 直線 OD とℓの交点をPとし,△APB の面積をSとする。 Sを求めよ。 (3) (2) のとき,C上 (ただし点Aを除く)に点Q をとり, APQ の T 9 面積をT とする。 = S 10 であるとき, 点 Qの座標を求めよ。 (配点 40 )
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(1) 令和7年度4月進研記述高3模試の自学 C:x2 + y2 + ax + by + c = 0 …… ① とおき, ①がO(0,0), A(8,0), B(0, 4)を通るから c=0 = a 64 + 8a + c = 0 ∴a=- -8 16 +46 + c = 0 b=-4 よって C:x2 + y2-8x-4y=0圈
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(2) C:(x-4)2+(y-2)^ = 20 中心D (4,2) 半径2√5 点A(8, 0) におけるCの接線の方程式は (8-4)(x-4)+(0-2)(y-2)=20 |= ∴.2x - y = 16圄 接線公式 xと接線l:y=2x-16の交点は 1 直線OD: y= 2 2x-16 -16=1/21 32 x より x = だから P 3 P(32, 19 2 32 16 APの長さは AP = - 8 + -0 = 3 3 8 AB⊥AP だから S=AP × AB+2=2√5×4√5 +2 B D 3 A x 80 60 = 3
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Q(s, t) とし, Q からℓにおろした垂線とlの交点をHとする。 △APB と△APQ は, 底辺 AP が等しいので, 高さの比が面積の比になるから 中2:等積変形 AB:HQ =10:9 D AB=4√5 より 4√5:HQ = 10:9 18 .. HQ = √5 5 H A x 点 Q(s, t)と直線l:2x-y-16=0の距離がHQ だから |2s-t-16| 18 √22 + (−1)2 = 5 ..|2s-t-16|=18 ... 2s-t-16 = ±18 点と直線の距離 の公式 点 Q は直線lより上側にあるから t> 2s-16 よって 2s-t-16=-18 .. 2s-t=-2 ア また,点 Q は円C上の点だから (s-4)²+(t-2)^ = 20 ......イ アとイを連立方程式として解くと (s-4)2 + (2s + 2-2)²=20 ∴.5s2-8s-4=0 .. (5s + 2)(s-2)=0 2 , 2 5 6 アに代入して1=3 6 2 よって またはQ(26) 5 5 P
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