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3 【Ⅲ型 必須問題】(配点 40点) 三角形 OAB があり, 重心をGとする. また, pを正の実数 として, (3p-2) PO-2pPA-pPB= 0 を満たす点 P をとる。 a=OA, OBとするとき,次の間に = 答えよ。 (1) OG, OP を a, b を用いて表せ. (2)直線 OP と直線AB の交点をCとするとき, OCをa. を用いて表せ. また, OP: OC と AC: CB を求めよ. (3)g を正の実数として, OQ=qOBを満たす点 Q をとり,3 点 P, G, Q が一直線上にあるときを考える. (i) qをpを用いて表せ. (ii) 三角形 OAB の面積をS,三角形 OPQ の面積をT とするとき, S:T = 27:8となるようなp, q の組 (p,q) を求めよ.
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2025 年度 第1回全統記述高3模試 @自学 Akagi 3 ベクトル 00+OA+ OB (1) OG 3 1 |= a+ 1 3 ► (3p-2)PO-2pPA - PPB = 0 →> -b 3 始点を0で統一 (3p-2)(-OP)-2p(OA - OP) - p(OB-OP) = 0 .. 20P = 2pOA + POB →> 1 .. OP = pa+pb 2
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共線条件 ・① (2)3点 0, C, P は一直線上にあるから OC = kOP = kpa +=kpb 2 点 Cは直線AB上の点だから a+ 1 .b A ① kp + -kp = 1 2 係数和1 2 ∴.k = の法則 3p これを①に代入して OC = 2|3 Oc= 2 OP = OP .OP より = 3p OC 2 3 0 P ► OC = 3 →>> a+ 1 3 → -b = 3p だから OP: OC=3p:2圏 2a +1b 1+2 より, AC: CB = 1:2 圈 内分点の位置 ベクトルの公式 B
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(3) (i) (1)より 1 OG a+ = -b ② 0 3 3 また, G は PQ を 1:(1-s) に内分する点 1-s G とすると A B S = OG (1 s)OP + SOQ = (1− s) (pā + 1/ →> = (1-s) pa+pb|+sqb = (1 − s) pa + 2 (1 − s) p + sqb (3 2 P aとbは一次独立だから, ②と③の係数を見くらべて 1 (l-s) p = ½ ½ (l-s)p + sq = , 3 2 3p-1 S = より g = 3p 1 3p 1 3 3 3p-1-2 (1-3P-1).p P P 1 3p-1 2 3p p 2(3p-1)
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(3) (ii) ▸ AOPQ=T 3 ○OCOP=1:12p より AOCQ= 2 T 3p 9 1 0 |1 3|2| p B 2 A T 1 C 2 → OQOB =q:1 £}) AOCB 1 -- q AOCQ → = 3pq AC:CB = 1:2 より AOAB = S 3 =- 2 AOCB 32 P T S-72 = = = = 1 • 2 3pq pq pq = T 1 2(3p-1) 6p-2 p 6p-2 - 2 p² 2 p p² .. 27 p² − 48p +16 = 0 .. (3p-4)(9p-4) = 0 pq よって T ST 27 より 8 4 3 4-9 2 →> 9 2-3 4 2 したがって (p,q) = (. , 3' OIN 4 .), (. 9 3 ała = 8 27 より 答
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