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2
数学Ⅱ 第3章2節 教科書節末問題 自学
9 x 2 + y' + x -3y=0
(++)))
(1) 平方完成すると
中心 (11/12)
3
半径
(2)
√10
2
(x+2)+(x-2)=(x,y)=(21)を代入して
3
13
(2+1)+(1-2)=-1/27
p²
3
13
(x+1)+(x-1)=1/27
+y
|=

ページ4:

10 A(-2, 1), B(1, 4), C(0, 5)
4-1
1 5
直線AB の傾き:
=1 中点:(-
1-(-2)
,
2
nin
5
→ AB の垂直二等分線 y-
=
2
-
-(x+
∴y = x + 2 ...... ①
5-4
直線 BC の傾き:
=-1 中点: (
0-1
2'
2
9
→ BCの垂直二等分線 y-
=
(x
2
2
∴y = x + 4 ......
②
①と②の交点が外心だから, 連立方程式を解くと
(x,y)=(-1, 3)
また, 点 C と外心との距離が外接円の半径だから
√(-1-0)2+(3-5)2 = √5
外接円の半径√5 外心の座標 (13)

ページ5:

11 y=x-2, x2 + y2 = 10
▲ 円の中心(0, 0)と直線x-y-2=0との距離は
d
=
三平方の定理により
0-0-2
√12 + (−1)2
=√2
x=√(√10)2-(√2)²=2√2
よって, 求める線分の長さは
2x=2x2v2=4√2
4√2
/2
√10 ]
x

ページ6:

12 x 2 + y2 = 5 • ① x+3y+c=0………②
=
(1) 円 ①の中心(0, 0)と直線②の距離は
d=
=
|0 +3.0 + c| |c|
V12 + 32
=
√10
円の中心と直線の距離く円の半径
①と②が異なる2点で交わるから d√5
|c|
よって
√10
√5:\cl<5√2
-5√2 <c <5√2
笑
(2)円 x2 + y2 = 5と直線x+3y-5=0………③
の共有点を求めると
(-3y+5)2 + y2 = 5
y2-3y + 2 = 0
(y-1)(y-2)=0
∴.y=1,2
これらを③に代入してx=2, -1
よって, 3点0(0, 0), A(-1, 2),B(2, 1)
を通る円の方程式をx2+y2+px+qy + r = 0 とすると
r=0
-p+2q+r=-5
∴p=-1,g=-3,r=0
12p+g+r=-5
したがって, 求める円の方程式はx2+y^-x-3y = 0圈

ページ7:

13 点(4, 2)から円x2 + y2 =10に引いた2つの接線の接点を
A,Bとする。
(1)円x^ + y2 =10と接線の交点(接点)を(a, b)とすると,
接点を通る接線は
ax + by = 10
……………①
と表せる。
①が点(4,2)を通るから
4a+2b = 10
∴.2a+b=5
・②
◆ 円の中心(0, 0)と接線①の距離が半径√10 と等しいから
|0+0-10|
√a² + b²
=
√10 :10(a²+b2)=100
2
:. a² + b² = 10 …...③
②と③を連立方程式として解くと
a² + (−2a+5)² = 10 ∴. a² -4a+3= 0
∴(a-1)(a-3)=0
∴a=1,3
これらを②へ代入して
b=3, -1
よって、接点は
(1, 3)と(3, -1)圏
(2)A(1,3) B(3, -1) とすると, 直線AB の方程式は
定点公式により
-1-3
y-3=-
(x-1)
3-1
∴y=-2x+5

ページ8:

14円(x+1)^+(y-3)²=r2 … ① 中心(-1, 3)
円(x-2)2 +(y+1)^= 72 ......② 中心 (2, -1)
円 ①が円②の内部にある
2つの円の中心間の距離+円 ①の半径 <円②の半径
○ 2つの円の中心間の距離は
(2+1)^+ (−1−3)^ = 5
○ 円①の半径は
r
7
○ 円②の半径は
よって5+r<7 ∴r<2
これとr>0より 0 <r< 2图

ページ9:

15円(x-1)^+(y-2)²=32上の点Pと点A(4,6)との距離
の最大と最小
Aと円の中心Oを通る直線を考える。
A
P
最小
P
最大
計算しやすいように,円と点Aをそれぞれx軸方向に-1, y 軸
方向に-2だけ平行移動すると
円: x2 + 12 = 32 中心 0 (0, 0) 点A(3,4)
OA = 5, OP = 3 より PA の
最大値は AO + OP =
最小値は
5 + 3 = 8劄
AO-OP= 5-3
=2图
また,最小となるときの点Pは円x2+y2=32と直線y=-x
3
9
12
の交点だから x=-,
5
y=
=3' y = 5
--
(∵図よりx > 0, y > 0 )
これらを平行移動する前に戻すと
したがって
9
14
=
x=-+1
5
P(
5
14
5
,
,
12
22
+2
y=
22
5
5
=
5