【中学受験算数】Ⅵ-06. 円・おうぎ形

まっちゃん

平面図形の最後に出てくる円のノートです。
3.14のかけ算は中学受験生しかやりません。分配法則を使ってなるべくまとめて⬜︎×3.14の形にして、最後は3.14×1〜9を覚えて筆算しましょう。
たまに、3.1や22/7が使われるので、問題文気を付けてくださいね。

2026.05.30 公開

中学受験基礎円おうぎ形

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ノートテキスト

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中学受験 算数 [VI] 平面図形
06. 円・おうぎ形
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円・おうぎ形 - 1. 円と角度
●円とは、1つの中心からの長さが等しくようにかいたまるい形。 円の中心から円周の点までの線の長さが半径
●おうぎ形とは、円を2つの半径で切り取った形。 奥義形のまわりの曲線の部分 (円周の一部)を孤という
(1) 円の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
(3)おうぎ形の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
孤
円 1つの点から長さが
等しい点の集まり
直径
おうぎ形:円を2つの半径で切り
取った形
半径
中心角
中心
中心
円周 円のまわりのこと
半径
中心角: 2つの半径が作る角
孤:おうぎ形のまわりの曲線部分
半径 : 中心と円周上の1点を結んだ
円周
(4) おうぎ形の中心角
線の長さ(どれも等しい)
直径 : 円周上の1点から中心を通って反対側の円周まで
ひいた長さ
180° 1
120° 1
90°
1
=
360°
円周角
2
360° 3
360°
4
中心角: 円周上の2点と円の中心
を結んでできる円の中心
にある角
中心
半円
120°
四分円
円周角: 円周上の2点と、円周上
中心角
のもう1点を結んだ線分の
なす角
60°
1
45°
1
30° 1
=
360°
6
360° 8
(2)円の性質
360° 12
直径 半径×2
直径は、円の中に引いた直線の中で最も長い
△60°
45°
30°
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1

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円･おうぎ形 - 2. 円の角度・まわりの長さ
● 円周上の点と直径を結んでできる三角形は、 直角三角形になる
● 円周の長さは直径に比例し、円周の長さ+直径の長さを円周率といい、 約3.14になる
●おうぎ形のまわり (孤) の長さは、円周の長さ×円に対するおうぎ形の割合 (例: 半円
(1)円と角度
(2) 円のまわりの長さ
円の中心から円周上の点までの
長さ (=半径) がみな等しいため、
二等辺三角形になる
角の大きさが
等しい
【公式】
中心
円のまわり (円周) の長さ=直径×円周率
=半径×2×円周率
【定義】
問題文で指定
3.14 以外にも、 3.1や
円周率: どんな円の大きさでも同じ
22
円周上の点と直径を結んでできる
三角形は、 直角三角形になる
【成り立つ理由】
(中学では) 3.14159265･･･
などが使われることも
7
(3)おうぎ形の孤の長さ
#
#
C
【公式】
中心OKAを結んで二等辺三角形を作る
三角形OAB、 三角形OACは
中心
円周角
おうぎ形の孤の長さ=円周の長さ×
360°
どちらも二等辺三角形になり、
●同士、 ○同士の角の大きさは等しい
三角形ABCの内角の和は180°より、
+ ● + ○ + ○ = 180°
=直径×円周率×
中心角
360°
【ご参考】 3.14のかけ算 覚えると計算が早くなる!
したがって、角Aは ● + ○ = 90°
(円周角の定理)
円周角
3.14×1 = 3.14
3.14×6=18.84
3.14×2=6.28
3.14×7=21.98
円周角の大きさ
=中心角の大きさ+2
中心
3.14×3 = 9.42
3.14×8= 25.12
【成り立つ理由】
魚
> 3.14×4 = 12.56
3.14×9 = 28.26
上と同じ。 180°を中心角と読み替える
3.14×5=15.70
2
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円・おうぎ形 - 3. 円・おうぎ形の面積
● 円の面積は、半径×半径×円周率。 おうぎ形の面積は、円の面積に中心角の割合をかける
●3.14のかけ算が頻発するが、計算せずに最後まで残しておき、最後に分配法則でまとめて計算
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(1)円の面積
(2)おうぎ形の面積
【公式】
【公式】
中心角
円の面積= 半径×半径×円周率
おうぎ形の面積=半径×半径×円周率×
360°
半径
中心
半径
中心角
・半径
【公式が成り立つ理由】
(例) 色がついた部分の面積は?
円を、できるだけ細かく等分して、交互にならびかえてみると、
たてが半径、 横が円周の半分の長さの長方形に近づく
90
(解)四分
4×4×3.14×
= 4×3.14
360
180
4cm
半円 2×2×3.14× = 2×3.14
360
半径
WW
| Point 3.14のかけ算は残して最後にやる
...
したがって、
円周の半分
4×3.14 - 2×3.14
=(4-2)×3.14
= 2×3.14
は、
Point
したがって、円の面積=半径×円周の半分
半径
=半径×(直径×円周率x-)
=
: 半径×半径×円周率
= 6.28[cm²]
分配法則でまとめる
ax3.14 + b×3.14 = (a+b)×3.14
ax3.14-b×3.14=(a-b)×3.14
3

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円･おうぎ形 - 4.移動領域の面積
● ひもにつながれたものが動くことができる領域は、 つながれた場所を中心に、 ひもの長さを半径とした円の内側
● ひもが余ったら、 余った長さを半径とした円の範囲も移動可能
(1) ひもでつながれたものの移動領域
ひもにつながれたものが動く範囲は、 つながれた場所を
(例) 図のような建物のかどに、
中心に、 ひもの長さを半径とした円の内側になる
半径
半径
(中心
移動
円は、1つの点から長さが
等しい点の集まり
・ひもをピンと伸ばすと、
長さ9mのロープで犬がつながれ
ています。 この犬の動ける範囲の
面積は何mですか。
5m
9m
8m
円周率は3.14とします。 (武蔵中学)
(解) 犬の動ける範囲は、
ひもの長さが半径の円となる
① 点Dを中心とした半径9mの
中心角270°のおうぎ形
19m
領域
② 点Aのところで、 9-8=1m
余っているので、
A
「1m
点Aを中心とした半径1mの5m
中心角は90°のおうぎ形
-8m
B
途中で折れる時は、 折れた点を中心にして、残りのひもの
長さを半径としたおうぎ形の内側になる
点Cのところで、 9-45m
14m
余っているので、
点Bを中心とした半径4m、 中心角は90°のおうぎ形
の3つのおうぎ形の面積の合計になるので
270
90
90
9×9×3.14× +1x1x3.14x; + 4×4×3.14×
360
360
360
= (81×3 + 1 + 16)×3.14×-
=204.1[cm²]
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