【中学受験算数】Ⅴ-02．順列

まっちゃん

一見、とっつきやすそうですが、ミスが気づきにくく、思考力が求められて難関校で頻出する場合の数です。

2026.07.12 公開

中学受験算数場合の数ならべ方

コメントはまだありません。

ノートテキスト

ページ1:

順列 - 1. 樹形図を使った調べ方
● 樹形図とは、 あるものをもれなく、 重複することなくかいた図。順番を守ってかくことがポイント
● 順列とは、いくつかのものを順序をつけて一列に並べるとき、 その並びのこと
(1) 樹形図
(2) 順列 (ならべ方)を使う例
じゅけいず
樹形図あるものをもれなく、 重複することなくかいた図
樹形図をかくときの注意点
ならべ方(順列) の例
•
数字のカードを使って整数を作るとき
▼ 小さい順 大きい順などのように順番を守ってかく
•
大小・白黒のように、違ったさいころをふるとき
•
人が前(左)から順番にならぶとき
(例)0、1、2、3の4枚のカードのうち、3枚をならべて、
3けたの整数を作ると、 全部で何通りできますか?
①順番を決める
もっとも小さい整数からならべ始める
②条件に合うものを順番に書き出す
百の位が0のとき、 整数にならないのでNG
百の位が1のときを調べる
じゃんけんをするとき
(3) 同じものが複数ある場合のならべ方
(例) 白と黒のご石がそれぞれたくさんあります。
白・黒合計3個をならべるとき、 全部で何通りありますか?
(解) 〇 (白) ● (黒) の順番で樹形図をかく
Copyright (C) 2026 MATSUDA Takahisa
|2026/7/12
2
･･･ 102
0
3
103
0
･･･ 120
1
2
·123
6通り
3
0
130
3
2
・132
1以外の数
使っていない
をならべる
数をならべる
百の位が2のとき、3のときを調べる
0
2
1
3
130301
0
3
1
2
120201
6通り
6通り
2 合計
6+6+6
18通り
1番左がοだと、4通り
2番目・3番目のならび方
は、先頭の場合と同じ
1番左が●も4通り
合計 4+4=8通り
(別解)重複順列となるので、 2×2×2=8通り
1

ページ2:

順列 - 2. 和の法則
和の法則は、Aの起こり方が通り、Bの起こり方が通りならば、 どちらかが起こる場合の数は、 p+q通り
●道順の場合の数は、 和の法則を応用することで求めることができる
(1) 和の法則
【法則】
AとBが同時に起こることがないとき、
Aの起こり方が通り、Bの起こり方がq通りならば、
(2) 最短経路の問題
(例) 右図のような格子状の道が
あり、スタートからA地点を通って
ゴールに向かう時、まわり道を
しないで最も短い道のりで
行く道順は何通り
ありますか?
ゴール
A.
AとBのどちらかが起こる場合の数は p+q通り
和の法則が使えるときの例 (Aの場合+Bの場合)
▼AかBが起きるとき
AまたはBが起きるとき
√Aだと口通り、Bだと△通りあって、両方から選ぶとき
(例) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、 目の和が
5以下の奇数になる場合は何通りありますか?
スタート
(解) 和の法則を使う方法
スタートから1通りしか行けない地点に「1」を書く
スタートの右どなりのB地点への
最短経路での行き方は1通り。
その右どなりの地点への
ゴール
A.
| 最短経路ではない!
最短経路での行き方も
(解) 目の和が5以下の奇数になるのは、 その和が3か5になるとき
B地点から進むしかないので
1
(A) 目の和が3になる場合、
(大, 小) (1,2), (21) の2通り
(B) 目の和が5になる場合、
(大, 小) = (1,4) (2,3) (3,2), (4,1)の
4通り
したがって、全部で、 2 + 4 = 6通り
B
C
スタート
②2方向以上から行ける地点は、 和の法則を使ってたす
'
P地点に行くのは、下から1通り、
左から1通りなので、 1+1=2通り
ゴール
61
12
18
3
6
同様にたしていくとAまでは6通り 1
③途中から再開するときは、
その地点までの数を持ち越す
Aから1通りで進める地点は
全て6からスタート
さらにゴールまで進める18通り
1+1
A
6
6
=2
3
1
P
A地点までの
数を持ち越し
スタート 1
1
Copyright (C) 2026 MATSUDA Takahisa
|2026/7/12
2

ページ3:

順列 - 3.積の法則
●積の法則は、Aの起こり方が通り、 Bの起こり方がq通りならば、 共に起こる場合の数は、pxq通り
● 同じ結果が何回でもゆるされるとき、1回あたりが通りならば、 回起きる場合の数はpをn回かけた数
(1) 積の法則
【法則】
Aの起こり方が通り、Bの起こり方がq通りならば、
AとBが共に起こる場合の数は、pxq通り
積の法則が使えるときの例 (Aの場合×Bの場合)
√Aを□個とBを△個をそれぞれ選ぶとき
AとBが共に起きるとき
√A、Bを続けて選ぶとき
(例) 右の図のように、A,Bの間に2本、
B,Cの間に3本の道があるとき、
A地点から、 B地点を通って
C地点に行く方法は何通りありますか?
A
B.
C
(解)A→Bが2通り、 B→Cが3通りなので、 2×3=6通り
(例) 1組52枚のトランプの中から、 続けて2枚抜き出すとき、
2枚ともスペードである場合は、 何通りか?
( 1回目取り出すとき、
スペードは13通りある。
1回目スペードを取り出した後に
2回目取り出すときは
1回目 13枚 2回目:12枚
・除く
残りの12枚 (12通り)に
なるので、
Q
13×12= 156通り
K
OK
仮に、 2を
2回目は、
取り出した場合
2は出ない!
(2) 重複順列
【法則】
n回くり返すときの場合の数は、
起こり方が通りで、 同じ結果が何回でもゆるされるとき、
pxpx...xp 通り
n個の積
重複順列の例
同じサイコロを口回ふるとき
じゃんけんを口回やるとき
○人の人がA、Bの部屋を選んで入るとき
部屋に入ることができる人数に制限がないとき)
▼カードがたくさんあるとき
(例) 1、2、3のカードがたくさんあるとき、 3枚をならべて、
3けたの整数を作ると、 全部で何通りできますか?
(解) 百の位は、 1、2、3の3通り
十の位も、 1、2、3の3通り
一の位も、 1、2、3の3通りなので、合計で
3×3×3 = 27 [通り]
3回ならべる
Copyright (C) 2026 MATSUDA Takahisa
|2026/7/12
3

ページ4:

-
順列 4.積の法則の応用
BD BDA
● ならべ方を考えるとき、そこの枠に入る場合の数を考えて、 稿の法則を使って順番にかけ合わせる
● 特に、 異なるn個のものから異なる個を選んでならべるときの場合の数は、 nx (n-1)x...通り
(1) 列のならべ方
(例)A、Bの2人の男子と、C、Dの2人の女子が1列にならびま
す。
BU
個の積
(2) 平面のならべ方 (ぬり分け問題)
(例) 右の絵を赤 青 緑 黄 紫の5色の
うちのいくつかを使って、
↑
↑
↑
最初は、A~Dの
だれでも良いので
4通り
最初以外の
だれでも良いので
3通り
残りの
残りの
2通り
(A,C)
(Cのみ)
となり合う部分が同じ色にならないように
ぬり分けるとき、 色のぬり方は何通り?
(解)一番、 多くの部分ととなり合っている
ウから決めると、ウに入るのは5通り。
ア、イ、エに入るのは、 ウ以外の4色で
あればとなり合わないので、
ア
ウ
イ
I
(例だとA、C、D)
積の法則を使うと、4×3×2×1= 24[通り]
積の法則より、5×4×4×4=320 [通り]
↑ ↑ ↑ ↑
ウアイエ
4人を4人全員選んでならべている状況!
② 女子がとなり同士になるような、 ならび方は全部で何通り?
女子(C.D) をセットにして、A、B、CDの3組のならび方を
考えると、 3×2×1= 6[通り]
ただし女子は、CDとDC の2通りが考えられるので
積の法則で、 6×2=12[通り]
③男子と女子が交互にならぶような、 ならび方は全部で何通り?
→ 男女男女と女男女男の2通りが考えられる
男女男女は、2×2 = 4[通り]
AかB CかD
2通り
女男女男も同様なので、4×2 = 8[通り]
(例) 前例の絵を赤、青、緑の3色を必ず使用して、
となり合う部分が同じ色にならないようにぬり分けるとき、
色のぬり方は何通り?
(解 ウから決めると、ウに入るのは3通り。
ア、イ、エに入るのは、 ウ以外の2色であればとなり合わないが、
全部同じ色だと、 合計2色しか使わないので、この場合を除く
と、
こみ、積の期より、 3×6=18[通り]
↑↑
ウア、イ、エ
Copyright (C) 2026 MATSUDA Takahisa
|2026/7/12
4

ページ5:

順列 - 【参考】順列を数学で解く
●n個から個取る順列の総数を記号 nPrで表す (高校数学A)
(1) Permutation (順列)
P:順列の和を表す記号
nPr=n(n-1) (n-2)x...x (n-r+1)
r個の積
(例)6人から3人を選んで1列に並べるとき、
並び方の総数は?
6P3=6×5×4=120 [通り]
3個
!: 階乗 1からnまで全ての自然数の積
n!=n(n-1)(n-2)x...×3×2×1 (n: 自然数)
(例) 4! = 4×3×2×1= 24
さらに、 0 1 と定義
Pを!を使って表すと、
Pr
n!
(2) 同じものを含む順列
同じものを含む場合の順列は、組み合わせの考え方を
用いて、 総数を求める
n個のもののうち、Aがp個、Bが4個、Cがr個、･･･
あるとき、それらn個のもの全部を1列に並べる順列の総数は
Crx...
n!
p! q!r!...
ただし、 p+q+r+…=n
(3)円順列
円順列 : 異なるn個のものを円形に並べる並べ方
円順列の総数は、 回転して同じ並び方になるものが
n通りあるので、
n!
=(n-1)!
n
(n-r)!
n!
nPn =
(n-n)!
=n!
(4) 重複順列
重複順列 : 異なるn個のものから重複を許してr個取り出す
順列
重複順列の総数は n
(例)1~9までの数字を使って5桁の数字を作ると、 95通り
Copyright (C) 2026 MATSUDA Takahisa
|2026/7/12
5