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高2 数学Ⅱ(図形と方程式②) 7月進研模試 過去問抜粋 B50を原点とする座標平面上に, 点A(1,3)と 円 K, : x2 + y2 + 4.x+2y=0がある。 また,円 K,と半径が等しく 1 点 0 を中心とする円を K, とする。 2 (1)円 K2の方程式を求めよ。 (2)点Aから円 K 2 に引いた2本の接線と円 K2 の接点をそれぞれ B,Cとする。 接点 B, C の座標を求めよ。 ただし, 点B の y座標は点Cのy座標より大きいものとする。 (3)(2)のとき,直線 BC の方程式を求めよ。 また,円 K, と中心 が同じ円で,直線 BC から切り取る線分の長さが2√2 になる円 3 を K3 とする。 点Pが円 K の周上を動くとき, 線分AP の長さ (配点 20 ) の最大値を求めよ。
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解答例 A(1,3) K:x2 + y2 + 4x +2y = 0 平方完成 (1)円 K の中心の座標と半径は 1 K₁ : (x + 2)² + (y +1)² = 5 中心(-2,-1) 半径√5 円 K2の中心は(0, 0)で半径は 5だから K2:x2+y2=5 答 x2 + y2 = 5
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(2) 接点を(a, b)とする。 ◆ 円 K2:x2 + y2=5上の点(a, b)における接線の方程式は ax + by = 5 接線公式 この接線が点 A (1, 3) を通るから ① a +3b = 5 ■ 接点(a, b)は円 K2 : x2 + y2 = 5 上の点だから 2 a² + b² =5 ………② ①と②を連立方程式として解くと (-36 +5)2 +62=5 ∴.b=1, 2 b2-36 +2=0 (6-1)(b-2)=0 これらを①へ代入して 答 B(-1, 2) C(2, 1) C(2,1) a =2,-1
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x+3y-5=0 P √√√2 M W10 (-2, 1) 2√3 P [U A 40- 5
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(3) 2点B(-1, 2), C(2, 1)を通る直線の方程式は 1-2 1 5 y-2= (x+1) 答y x+ 2-(-1) 3 3 定点公式 (x+3y-5=0) 円K, (K3 ) の中心はO'(-2,-1)。 x+3y-5=0 O'から直線 BC に下ろした垂線と BC の交点を M とすると -2+3・(-1)-5| O'M= = √10 点と直線の距離 12 +32 の公式 円 Kと直線 BC との交点をP, Q とすると, = 半径 O'P = √(√2)2 + (v10)²=2√3 三平方の定理 線分 AP が最大 AP が円 K の中心 O'を通る 3 ○ AO'= √(-2-1)^+(-1-3)²=5、 ○ O'P=2√3 よって AP. max 2点間の距離 = AO' + O'P = 5 + 2√3 答 52√3
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