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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 高1@自学
~ 2次関数〜
f(x)=x2-4x+α²-a,
(1) f(x) ={(x2-4x+4)-4}+a²-a
=(x2-4x+4)-4+α²-a
=(x-2)^+α²-a-4
(2) 図より, 最小値は頂点のy座標だから
a>0
平方完成
頂点(2, a2-a-4)
軸
Max
a2-a-4=8
α2-a-12=0
(a-4)(a + 3) = 0
α 0より
a = =4
Min
α=4のとき
0
2
3
図より, x=0のとき f(x)は最大となるので
最大値はf(0)
=
02-4.0 +42-4
=
12

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(3)(2)より f(x) =x2-4x+12=(x-2)2 +8
→ 軸: x = 2 頂点(2,8)
下に凸の放物線の最大値を考えるときは次の三通りに場合
分け。
ア軸<定義域の中央
イ 軸>定義域の中央
⑦ 軸=定義域の中央
Clearnote
参照
ここで,軸が定義域t ≦x≦t+3のど真ん中にあるとき
t+(t+3)
= 2 :. t =
2
2
1
※ だから,今回はアとウを考えればよさげ。
2
ア
2<
2t+3
2-21-3. すなわち 12/24
2
<t のとき
x=t+3のとき最大となり, 最大値は
M = f(t + 3) = (t+3-2)^+8=12+2t+ 9
1/21のとき
2t+3
<2, すなわちt<一のとき
</12のとき
2
条件※を満たさないから不適。 ラッキー
ア, イ より M = 12 + 2t + 9

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(3) 最大値と最小値を同時に考えるときは追加の説明のように
の五通りに分ければ必ず求まります。(手間だけどおすすめ)
(i) 2<t(軸が定義域より左)のとき
M=f(t+3)=t2 + 2t + 9
m=f(t) =f2-4t + 12
M-m=3より
(t2 + 2t + 9)-(t2 - 4t + 12) = 3
∴t=2
これは条件を満たさないから不適。
2t+3
(ii) t≦2<
(軸が定義域の中央より左)
2
すなわちー <t≦2のとき
2
M=f(t+3) = 12 +2t+9
m=f(2)=8
M-m=3より
(t2 + 2t + 9) - 8=3 :.12 +2t-2=0
条件よりt = -1 + V3
次ページへつづく
:.t=-1±√3

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2t+3
(iii)
2
(軸が定義域の中央と一致)
2
(iv)
21+3
1
すなわちt=
ちょ-12 のとき,1>2を満たさないから不適
2
<2≦t+3(軸が定義域の中央より右)
2
1
すなわち-1≦t <-のとき,t>
S1/2のとき,
t> - を満たさないから不適
2
(v) t+3<2(軸が定義域より右)
すなわちt < -1のとき, t> -を満たさないから不適
2
(i)~(v)より t=-1+√3