ページ3:

微積分学(取り尽くし法)
昔は曲線の長さを測るのが苦手
ル
「定規で測れる正多角形で円を
挟めば円の長さが挟み撃ちで
分かるはずだ!」
円に内接する正多角形の周長を計算する
正6角形
正12角形
円
正多角形の周長は円周に近づいていくが円周を超えることはない
① サンドイッチする
円の外側と内側にぴったり正六角形を描
く。円の長さは 「外側より小さく、 内側よ
り大きい」状態
②角 (カド)を増やす
正六角形の角を増やして、
正12角形→ 正24角形→正48角形
へと細かくしていく。
隙間が消える(取り尽くす)
角を増やすほど、 多角形は見た目が
どんどん円に近づく。
円と多角形の間の隙間が
「取り尽くされて」いく

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アルキメデスの原理(浮力の法則)
水中に入れた物体
はその物体が
退けた水の重さと
同じ力で上に
押し上げられる
「浮くか沈むかの決まり方」
物体の重さ<浮力=浮くとき
強
例) 発泡スチロールは体積の割に軽いから浮く
物体の重さ浮力=沈むとき
例) 鉄の塊は体積の割に重いから浮く
船は鉄でも中を空洞にし体積を大きく
退かす水量が増えるから重さに勝てる!
「浮力の正体」
水圧は深くなるほど強くなる
→上を押す力･･･ 浅いから弱い
→下からの力･･･深いから強い
浮力の正体は、、、
下力-上力=残りの下からの
「退かした水とは」
浮力の大きさが物体が水中に入る
ときに同時に出る追い出された
水の重さになるということ
例)並々に湯が入ったお風呂に入る
と湯が外にジャバッと溢れる
溢れた水の重さが私を押しあげる力

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てこの原理の論理的証明
【証明】
【2kg】
①左右対称なら釣り合う
大前提
②左右対称に並んだ重りは中心に寄せても力は変わらない
2kgを近く (距離1)に
[▼]
(支点)
【1kg】
[▼]
1kgを遠く (距離2) に置くと釣り合う
距離
①重りを1kgごこにバラバラにする合計3個重り
②3個の重りを左右対称に並べる 釣り合う
【1kg】
[▼]
・距離 1.0
④比 左は2kg×距離0.5=1
右は1kg×距離1=1
③左側にある2個の重りの真ん中は支点から丁度 0.5
→その真ん中に2kgを置く右側は距離1の点
釣り合う
距離1→
合体 -
(1kg)
(1kg)
L
【2kg】
[▼]
(支点)
- 距離 0.5

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球と円柱の体積,表面積の比較
半径rの球とそれをぴったり包む円柱
表面積の比較
球表面積S=4r2
(円柱のサイズは球体とぴったりだから...
底面の半径r・高さ2r)
円柱=2r2×42
底面2個×側面
体積の比較
2r
球体積V=4/3 3
円柱体積V=πr2×2r
2つの体積の比率
球: 円柱=4/3r3:23
共通
球: 円柱 = 4:6=2:3
2つの表面積の比率
球: 円柱=42:6 22:3
を消し
3倍に
体積も表面積もどちらも
形も求めるものも違うのに
「球: 円柱 = 2:3」になる

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アルキメデスの螺旋
極方程式がr=a0 で表される曲線を
アルキメデスの螺旋という
a>0,0≧0 の範囲で考えたとき
一回転でrが2a増える→赤点の間隔が一定の螺旋
この赤点間隔の比率が一定のの螺旋r=aeb0は対数螺旋
この性質でアルキメデスは
低→高に水を汲むポンプを発明
・中心から一定のスピードで外に進む点がどこまでも一定になる
・一定の角度回るたび一定の距離外に進むというルール
(カタツムリの外に広がるたびに間隔が広がるのはX)
(蚊取り線香や巻取り式ホース、セロハンテープで見られる)

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世界初天体模型の制作 すごいところ!
得意としていた歯車を使い
天球儀
天体運行儀
「月の満ち欠け」 「日食、月食の予測」
「全ての惑星が正しいスピードで動く」
作れた理由
・・・星が何日で一周するかの正確なデータが当時のギリシャにあった
･･･アンティキティラ島の機械が使われていた
歯車について
当時はパワーを伝えるだけでなく計算機としても使用
アルキメデスはギザギザじゃないネジ型も発明