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置換してからでも偶関数に関しての公式は使えます。
(-3→3)∫[√(9-x^2)]dxにおいて、x=3sinθと置くと、
dx/dθ=3cosθ→dx=3cosθdθ
x -3(0)→3 θ 3π/2(0)→π/2
(-3→3)∫[√(9-x^2)]dx
=(0→3)2∫[√(9-x^2)]dx
=(0→π/2)2∫[√(9-9sin^2θ)]×3cosθdθ
= (0→π/2)2∫(3cosθ×3cosθ)dθ
= (0→π/2)2∫9cos^2θdθ
cos2θ=2cos^2θ-1→cos^2θ=(cos2θ+1)/2
= (0→π/2)9∫(cos2θ+1)dθ
= (0→π/2)9[(sin2θ)/2+θ]
=9[((sinπ)/2+π/2)-((sin0)/2+0)]
=9π/2
偶関数の公式は使わなくてもできますが、この問題は公式を使った方が区間が綺麗になるので、恐らく使うことを想定して作られた問題だと思います。
また、y=√(a^2-x^2)が表す図形は半径aの原点中心の円の上半分ですから、この性質を分かっていると積分をわざわざすることなく定積分の値を求めることができることもあります。(特に、今回のように、積分区間が半円の端から端までといった綺麗な区間の場合など…)
記述式で、途中式を求められる場合はきちんと積分できなければなりませんが…
ありがとうございます！