考え方は合っていますが[答えは違います], 1年生でやった内容を思い出すと上手く解けます.
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初項2公差3の等差数列の第n項は3n-1, 初項6公差5の等差数列の第m項は5m+1と表せる.
ここで3n-1=5m+1となるn, mの組み合わせを考える.
3n-5m=2を満たす解の一つはn=4, m=2で3(n-4)=5(m-2)と書くことが出来る.
3と5は互いに素だから, n≧1であることに注意すると, ℓを自然数としてn=5ℓ-1, m=3ℓ-1と書ける.
すなわち3(5ℓ-1)-1=5(3ℓ-1)+1=15ℓ-4で表される数列が条件を満たす. これは初項11, 公差15の等差数列である.
[2, 5, 8, 11…と6, 11, 16なので11が初項であることはすぐ分かります. 具体的に書いてチェックすることも大事です.]
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[別解]
前者の数列は3で割って2余る自然数列の一部, 後者の数列は5で割って1余る自然数列の一部である.
前者の数列の第4項目と後者の数列の第2項目である11は一致し, これが新しい数列の初項になる.
中国剰余定理から3と5の最小公倍数である15を周期として条件を満たす自然数が表れる.
以上から初項11, 公差15の等差数列をなす.
何も考えないで解くと
kを整数としてn-4=5k, m-2=3k⇔n=5k+4, m=3k+2
n, mは1以上なのでk=0, 1, 2…であればいいわけです.
この問題では自然数ℓとの対応を見たい[数列の初項は第1項]のでℓ=k+1⇔k=ℓ-1と変換します.
そうするとn=5(ℓ-1)+4=5ℓ-1, m=3(ℓ-1)+2=3ℓ-1になります.
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慣れてくれば, 大雑把に見て, 初項4, 公差5の等差数列だと対応がつくのでn=5(ℓ-1)+4=5ℓ-1[5ℓに-1を足すと初項4を作れると考えてもよい]としていいです.
上で答えた回答で分かると思いますが, m=3k+2ではなくm=3k-1を代入すればいいです.
ありがとうございます、自然数lとの対応というのはlが第二項の時k=1なのでk＋1で2になるから対応するということですか？
何と何が対応するかよく分かっていないと思います.
数列というのは, (高校ではある規則性のある)数を1番目から順に並べたものです.
元の数列{a[n]},{b[m]}も新しく作った数列{c[ℓ]}[としましょう]も最初は必ず1項目[項列は自然数列]なので, つじつまが合うようにしなくてはいけません.
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n=5k+4: …, -6[k=-2], -1[k=-1], 4[k=0], 9[k=1], 13[k=2],…
m=3k+2: …, -4[k=-2], -1[k=-1], 2[k=0], 5[k=1], 7[k=2],…
という(無限)整数列です.
n, mも第1項から始まる数列ですから, 最初はk=0のときa[4]=b[2]=11のときはじめて一致して, c[1]=11となります.
k=0のときℓ=1[新しい数列の初項]になればよいので, ℓ=k+1と一つずらせばいいということです.
[複雑なのでじっくり整理して考えてください]
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解答は3(ℓ+1)=5(m+1)で解いているので, kを自然数として, b[3k-1]を取り出せばいいことがすぐに分かります.
しかし, 上のような対応をしっかり分かって導いているか否かは答案のみで判断できません.
そういう意味では, 数学の苦手な人を分かった気にさせている危険性もあって, 教育的ではないように感じます.
[注]
MMMさんの解き方でマズいのは
3ℓ=5m+2=5(m+2/5)
と変形して, 3と5は互いに素だから, m+2/5は3の倍数とするところです.
mは整数ですが, m+2/5は整数ではないので, 3の倍数[は整数ですよね]とはいえません.
私が解答で示した不定方程式の解き方を復習しておきましょう.