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整数係数の2次方程式なので, 解と係数の関係より解の一つが整数解ならもう一方の解も整数解を持つといえます.
[解αが整数であることと解と係数の関係α+β=a, αβ=-b^3からβも整数がいえるということです.]
よってb^3の正の約数p, qを用いて, (x+p)(x-q)=0のように因数分解することが出来ます. 但しpq=b^3です.
またa>0なのでp<qであることに注意します.
一方, bが素数ならば, b^3の約数であるb, b^2, b^3の偶奇は一致するので, aが素数であるためにはb=2であることが必要です.
[偶奇が同じ数の和と差は偶数です.c.f. 2+2=4, 3-1=2. 逆に言うと, 奇数になるのは偶奇の異なるもの同士の和と差だといえます]
αとβが共に偶数ならば, aは偶数なので条件を満たせません. したがってp<qからα=1, β=b^3=2^3=8と定めることが出来ます.
以上からx^2-ax-b^3=(x+1)(x-8)=0となるので, a=7, b=2であることが分かりました.
ごめんなさい. 下のように訂正してください.
[訂正]
pとqが共に偶数ならば, aは偶数なので条件を満たせません. したがってp<qからp=1, q=b^3=2^3=8と定めることが出来ます.
すいませんまだ正直理解できませんでした、
とても丁寧な解説ありがとうございます！
この問題で要求される記述レベルは, 中学生には厳しいものと思います.
ですが, 方程式が因数分解できることを示した箇所までは何とか理解してほしいです.
それ以降[具体的には"一方,"から先]は以下のように泥臭く場合分けして解いてもいいです.
***
p=1, q=b^3のとき, (x+1)(x-b^3)=0⇔x^2-(b^3-1)x-b^3=0と方程式は書けます.
したがってa=b^3-1=(b-1)(b^2+b+1)で, aが奇数となるためにはb-1とb^2+b+1=b(b+1)+1が共に奇数である必要があります.
bとb+1は連続する2整数[一方は偶数です]なのでb(b+1)は偶数, すなわちb^2+b+1は必ず奇数です.
偶数の素数は2のみなので, b-1が奇数となるようなbは2のみです. このときa=7なので条件を満たします.
p=b, q=b^2のとき, (x+b)(x-b^2)=0⇔x^2+(b-b^2)-b^3=0と方程式は書けます.
ところがa=b^2-b=b(b-1)は連続する2整数の積なので必ず偶数で, aが奇数であることと矛盾します.
[b^2>bなのでp=b^2, q=b, またp=b^3, q=1のような場合を考える必要はありません]
以上からa=7, b=2であることが分かりました.
今日は遅いので明日じっくり読ませていただきます！
[訂正]
pとqが共に偶数ならば, aは偶数なので