Question

ゲス

この証明が分からないので教えてください

[2] 群Cが集合 ヾ に左から作用しているとし、r e Y とする。 以下の問に答えよ。た
だし、で・r はヶの軌道、G。 はほァの固定部分群を表す。

(1) 9とで・r のとき、で。 と G。 は群として同型であることを示せ。

②) 東條類集合 /G@。 から軌道 G・z への写像 を、9とどに対し ゃ([功) のテで
定める。(ただし、9 を含む剰余類 9G。 をここでは 防 と記した。)
(&) は矛盾なく定義されている (welLdefined である) ことを示せ。
(b) は全射であることを示せ。
(C) と は単射であることを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

(1)y∈G・x だから y=g0x なるg0が存在する。
このg0を用いて写像fを次のように定義する。
f(g)=g0 g g0^-1
これがGxからGyへの同型写像であることを示せばいい。
(2)軌道・固定群定理 です。ググれば証明も見つかると思います。

軌道・固定群定理 軌道 固定化群 群作用

ゲス

同型は準同型で全単射まではわかるのですがこれをどのように書き示したらいいか分かりません。

Crystal Clear

1. fがGx→Gyの写像であること
2. fが準同型であること
3. fが単射であること
4. fが全射であること
を示します。
式にすると、
1. g∈Gx⇒f(g)∈Gy
2. g1,g2∈Gxのときf(g1g2)=f(g1)f(g2)
3. f(g1)=f(g2)⇒g1=g2
4. g∈Gyのときf(g')=gとなるg'∈Gxが存在する
です。
式をいじればできると思いますが、わからないものがあればどれか1つ答えます

ゲス

(1)はできました。(2)の(a)well-definedの証明がわからないです。

Crystal Clear

入力が[g]∈G/Gxのときのφの像(出力)は
φ([g])=g・x
と定義されていますが、これは剰余類[g]の代表元で(表面上は)定義されているということです。代表元の取り方は他にもあります。φの像が代表元の取り方に依らないこと(well-defined)を示します。式で書くと、
gが属する剰余類[g]に属する他の元をg'とすると
[g]=[g']
このとき
φ([g])=φ([g'])
つまり
g・x=g'・x
が成り立つことを示すのが問題です。

ゲス

Φ([g])=g・xで[g]=[g']
だったらΦ([g])= Φ([g'])となりg・x=g'・xが成り立つのは明らかではないのですか？

Crystal Clear

それはφがwell-definedに定義されているときです。
言い方を変えます。
gとg'が異なる元のとき、g・x=g'・xは一般には成り立ちません。しかしgとg'が同じG/Gxのグループ(同値類)に属するとき同じ値になることを示すのです。このような場合、φはGが定義域でなくグループG/Gxの関数(類関数)となります。
今回のφは問題文から類関数として定義されていますから、同じ同値類の元に対して同じ出力になっていなければなりません。

Crystal Clear

訂正
類関数という用語は群論でしか使われない用語でした。正しくは 同値類(この場合は剰余類)集合を定義域とする関数 です。

ゲス

g, h∈G が gGx＝hGx を満たすものとすると
h^(-1)g∈Gx だから
{h^(-1)g}x＝x なので
gx＝hx
すなわち、φ_x(gGx)＝φ_x(hGx)
したがって、φ_x は well-defined

こういうことですか？

ゲス

φ_xでなくてφの間違いです

Crystal Clear

それでOKです。