GからEDに垂線を引いてその交点をmとすると三角形GMDは辺の比が1:2:√3の直角三角形になります。
よって三角形GMDの高さと底辺は、三平方の定理を使って計算するとそれぞれ1と√3になります。よって三角形GEDの面積は1×（√3× 2）×1/2＝√3になります。
次に台形DCFEの面積を求めます。
CからEDに垂線を引いてその交点をnとすると三角形DMCは辺の比が1:2:√3の直角三角形になります。よって三角形DMCの高さは三平方の定理を使って計算して√3になります。
よって台形DCFEの面積は
（2√3+2）×√3×1/2＝3+√3になります。
よって三角形GED+台形DCFE＝五角形の面積になるので √3+（3+√3）＝3+ 2√3になります。
辺の比が1:2:√3の直角三角形になるというのは三つの内角がそれぞれ30度、60度、90度になることからわかります。
他にわからないことがあったら言ってください。
三角形GMDは二等辺三角形なので［二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する］という定理を使ってDMの長さを2倍してDEの長さを求めることができます。