Question

アカリ

直線の方程式の問題で、２枚目の写真の赤線の所までは理解出来たのですが、次の、それ以降どうやって答えまで導いているのかが理解出来ないので、解説お願いします！

求めよ。
*147.2点 A(-1, -5), B(5, 3) がある。直線:x-2y+6=0 上に点Pをとると
き,線分の長さの和 AP+BP が最小となる点Pの座標を求めよ。

147. 直線に関して, 2点A, Bは同
じ側にある。
直線2に関して点Bと対称な点を
B(a, b) とすると,
AP+BP=AP+B'P>AB' なので, 求
める点Pは,直線!と直線 AB’の交点
である。
直線はx軸と平行でないから, 2
点B, B'のx座標は等しくならず, a+5 である。
B'
P.
x
b-3.1
直線 BB'と直線!は垂直である。から,
02点P, Qが、直線!に関し
a-5 2
て対称
すなわち,
2a+b=13 …①
*(直線 PQ)」
. 線分 PQの中点が
e上にある
線分 BB’の中点
'a+5 b+3
は直線上にある から,
(-2,
2
b+3
-+6=0 より,
2
a+5
a-26=-11
2
2
0, 2を解くと,
a=3, b=7

したがって,B'(3, 7) より, 直線 AB'の方程式は,
22点(x, ), (x2, Ve) を通
直線の方程式は,
キx2のとき,
ソー(-5)=
-{x-(-1)}
すなわち,
ソ=3x-2
3との式を連立させて解くと,
*3
x=2, y=4
よって,求める座標は,
ソーカ=-V (x-xi)
P(2, 4)
X2-X1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

求める点Pは，直線lと直線AB'の交点ですね。
交点を求めればいいんですが、どうやったら求められますか？
ここで思い出すと，2つの直線の交点の座標は，2つの直線の連立方程式の解でしたね。
さて，連立方程式を立てるためには，直線AB'の方程式が必要になりますね。
直線AB'の方程式は2点A,B'の座標から求められるので，点B'の座標を求めればよさそうです。
点B'は点Bの対称点ですよね。なので①にある通りの方法で求められます。つまり，2つの条件をもとに連立方程式を立てて解けばいいです。

整理すると，
lとAB'の交点
(=連立方程式の解)
↑
AB'の方程式
↑
B'の座標
(対称な点の条件から方程式を立てて解く)

こういう流れです。

アカリ

答えに導くための方法は理解しました！
ですが、写真の解説とその方法が上手く合わなくて、困ってます💦
直線LとAB’の交点を求めるためにAB’の方程式を求めないといけないのに、BB’やや中点を求めてる事がAB’の方程式を求めるのになぜ繋がるのかが分からないです。
細く解説して下さりありがとうございます🙇‍♀️

零

AB'の方程式を求める前に点B'の座標を求めなきゃいけませんね。
点B'を求めているのが「BB'」や「中点」のところです。
解説右の欄に対称点の条件が書かれています。
B, B'が直線lに関して対称
⇔ {・BB'⊥ l
{・BB'の中点がl上にある
この2つを使えばB'の座標が求められます。