重要例題41 2次方程式の解の条件と確率
|3,4,5, 6, 7, 8から3つの異なる数を取り出し, 取り出した順にa, b, cとす
る。このとき,a, b, cを係数とする2次方程式 ax+bx+c=0が実数解をもつ
OOOO0
確率を求めよ。
指針> この問題では, 数学Iで学ぶ以下のことを利用する。
基本 37
2次方程式 ax°+bx+c=0 の実数解の個数と判別式 D=6-4acの符号の関係
D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ
D=0 のとき,ただ1つの実数解(重解)をもつ」 実数解をもつ
D<0 のとき,実数解をもたない
ゆえに,D=6°-4ac20 を満たす組(a, b, c) が何通りあるか, ということがカギとなる。
この場合の数を「a, b, cは3以上8以下の整数」, 「aキもかつ6キcかつ cキa」 という条
件を活かして、もれなく,重複なく数え上げる。
D20 のとき,
解答
できる2次方程式の総数は
2次方程式 ax?+bx+c=0 の判別式をDとすると, 実数解を
『もつための条件は
D=6°-4ac であるから
6P3=6·5·4=120(通り)
(組(a, b, c)の総数。
D20
6°-4ac20
の
3SaS8, 3<6ハ8, 3<c<8であり,aキcであるから
0より
ゆえに
acのとりうる最小の値に
6°24ac24-34
6°248
注目する。
よって
b=7, 8
47°=49>48 であるから
49
=12.25
4
b=7, 8
b=7のとき、Oから
724ac すなわち acs
(a, c)=(3, 4), (4, 3)
この不等式を満たす a, cの組は
6-8のとき,①から
この不等式を満たす a, cの組は
の(a. c)=(3, 4), (3, 5),(4, 3), (5, 3)
8°24ac すなわち acs16
したがって,求める確率は 2+4_1
に
a
号で N=120,
N
120
20
る間
a=2+4=6
(00-(
なるほど！ありがとうございます！