Question

YURA.

この問題でDG:GFを出すにはどうしたらいいですか？
(メネラウスの定理を使わない方法で)

(9) 右の図のように, 面積がSである△ABCにおいて,
辺 AB, BC, CA 上にそれぞれ AD: DB=D1:3, BE: EC =3:4.
CF:FA=2:3 となる点 D, E, Fをとる。
AEと DF の交点をGとするとき, △AGF の面積をSを用いて表せ。
D
B
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

図のようにAEと平行線を引くと、
BH：HE＝3：1、BE＝3だから、
BH＝3×3/4＝9/4、HE＝3×1/4＝3/4

CI：IE＝2：3、CE＝4だから、
CI＝4×2/5＝8/5、EI＝4×3/5＝12/5

つまり、HE：EI＝3/4：12/5＝5：16
HE：EI＝DG：GFだから、DG：GF=5：16

YURA.

ありがとうございます！返信が遅くなってしまって申し訳ないです…💦
別解で、写真のように解いていった場合はどうすればDG:GFが出せますか？

きらうる

写真を見ると、△ADGを1としてますね。
そこから、△AGFを16/5となったので、
後は、△ADG：△AGF＝DG：GFで求められますよ。
1：16/5＝5：16

YURA.

ありがとうございます！理解できました！
ちなみに、ここから△AGFの面積をSを用いて表すにはどう計算すれば良いのですか？

きらうる

AG：GEの比を出さないと解けません。
メネラウスを使わないのであれば、
DFに平行な線を、CからEから引くと(緑の線)
AF：FC＝3：2、BE:EC＝3：4から紫の比になります。
これを使ってAG：GEがわかります。

あとは、△ABG＝4、△ACG＝16/3を使って、
△GBE、△GCEを求めて、全体の面積を出します。
それがSなら、△AGFは何になるかを求めてください。

YURA.

(AG:GEの底辺比が1：2より)
△GBEは8、△GCEは32/3→△ABCは84/3なので△AGFは4/35Sということですか？

Answer 2

mo1

参考です

【平行線の性質を用います】(少し手間がかかります)

Ｄ，Ｆを通りＡＥに平行な直線とＢＣの交点をＰ，Ｑとします

●平行線の性質から、

　　ＢＰ：ＰＥ＝ＢＤ：ＤＡ＝3：1　で、ＰＥ＝(1/4)ＢＥ　･･･　①

　　ＥＱ：ＱＣ＝ＡＥ：ＥＣ＝3：2　で、ＥＱ＝(3/5)ＥＣ　･･･　②

●ＢＥ＋ＥＣ＝ＢＣで、ＢＥ：ＥＣ＝3：4　から、

　　ＢＥ＝(3/7)ＢＣ　で、①より、ＰＥ＝(1/4)(3/7)ＢＣ＝(3/28)ＢＣ　･･･　③

　　ＥＣ＝(4/7)ＢＣ　で、②より、ＥＱ＝(3/5)(4/7)ＢＣ＝(12/35)ＢＣ　･･･　④

●平行線の性質から

　　ＤＧ：ＧＥ＝ＰＥ：ＥＱ＝(3/28)ＢＣ：(12/35)ＢＣ＝(1/4)：(4/5)＝5：16

YURA.

ありがとうございます！返信が遅くなってしまい申し訳ないです…💦
平行線の性質について教えてもらえませんか？

mo1

同様な方法の他の方と、応答が成立しているようなので、

混乱を避ける為に、遠慮します。

応答が終わった後、必要ならお声がけください。

YURA.

気を遣わせてしまったようですみません😓
この問題の解き方については恐らく理解できたのではないかと思いますが、平行線の性質については履修していないので
教えて頂けると助かります。

mo1

参考です

https://math.005net.com/yoten/sojiTeiri.php

ここの、４番目をのぞいてみてください

１．三角形と比の定理
２．中点連結定理
３．平行線と比の定理
４．角の二等分線と線分の比
５。その他　相似の例題・練習問題

YURA.

ありがとうございます(*'▽'*)