Question

公立

(3)の問題なのですがここまで詳しく書く必要ってあるんですか？私はm=1n=1の時5になるためこの命題は偽であると書いたのですがそれでは不充分なんですかね？

練習 次の命題の否定を述べよ。 また, もとの命題とその否定の真偽を調べよ。
(1) 少なくとも1つの自然数nについて nー5n-6=0
(2) すべての実数x, yについて 9x°-12xy+4y?>0
(3) ある自然数 m, n について 2m+3n=6
52
(1) 否定:「すべての自然数 nについて n°ー5n-6キ0」
真偽:自然数n=6に対して
したがって 偽。
もとの命題の真偽:真。(n=6のとき n°-5n-6=0)
(2) 否定:「ある実数 x, yについて 9x°-12.xy+4y°<0」
真偽:9x°-12xy+4y?=0 とすると
n°-5n-6=0
そn°-52
と,(n+
から
n=
「bが真の
pが偽C
(3x-2y)=0
である。
ゆえに
3x=2y
よって, x=2, y=3のとき9x°-12xy+4y?=0が成り立つ。
したがって 真。
もとの命題の真偽:偽。(反例: x=2, y=3)
3)否定:「すべての自然数 m, nについて 2m+3nキ6」
真偽:m=1, n=1のとき
2m+3n=5(+6)

m22のとき,2m+3n>2·2+3·1=7 から 2m+3nキ6
そnはすべての自然数。
そm はすべての自然数。
n22 のとき,2m+3n>2·1+3·2=8 から 2m+3nキ6
したがって 真。
もとの命題の真偽は, 否定の真偽を調べたときと同様にして
偽。

Answer 1

だいす

「この命題」というのが元の命題のことを指していると勝手に推測して答えますが……
「ある自然数について～」という命題では,ひとつでも条件（今回は2m+3n=6）を満たす自然数があれば命題は真となります。
したがって,m=1,n=1を調べただけでは,まだ他の自然数によって条件が満たされる可能性を潰すことが出来ていません。なので,「m=1,n=1のとき5」だけでは不十分ですね。

とはいえ,あらゆる自然数をm,nに代入するのは不可能なので,否定命題を考えるわけです。
否定命題が真であることの証明によって 2m+3n=6を満たす自然数が存在しないことが分かるので,もとの命題が偽となります。

公立

すみません否定命題の方です…

だいす

あー！失礼しました。
それなら,m=1,n=1で 5 になるのなら,命題が偽になることはないと思うのですが…… 条件は「2m+3n≠6」なので,2m+3n=5ならきちんと条件を満たしていますよ。その上で,m,nのどちらかが2以上なら,2m+3nが6を超えてしまうので,「全ての自然数で2m+3n≠6」が真となります。