すみません、数学IIでわからないことがあるのですが、剰余の定理についてです。
p(x)=(ax+b)Q(x)+Rという形の式で、ax+bを0にすれば余りが出るのだと思うのですが、Q(x)が0であっても余りは出ると思うのですがしかし余りは一つしかないので、ax+bを0にするxとQ(x)を0にするxは等しいということでしょうか？
仕組みがわかっていないので、意味不明な質問をしているのかもしれません、すみません。
等しいかもしれませんし、等しくないかもしれません。
この段階ではまだ分からないですね
Q(x)はまだどんな式かわからないんですよね
具体的な話をすると、
例えばa=3、b=-3で、Q(x)=3 x-3だったとします。
この場合、(3x-3)²+Rのようにまとめられますね
x=1の時にax+bもQ(x)も０になります。
ですが、
ax+b≠Q(x)のとき、必ずしもa x+bを0にするxとQ(x)を０にするxは等しいとは言えません。
分かりにくい説明で申し訳ありません
質問があればどんどんください！
もしかすると、p(a)=p(b)になるようになっているのでしょうか？
pという整式がそうなっているのでしょうか？
P(x) = (ax + b)Q(x) + R は P(x) を (ax+b) で割ったときの商を Q(x) 余りをR と置いたときの一般形です。
ここで (ax + b) = 0 となる xの値を取ると、Q(x)の値に関わらず (ax + b)Q(x) の部分は =0 となるので
ax + b = 0 つまり x = -b/a のとき
P(-b/a) = {a * (-b/a) + b}Q(-b/a) + R = 0 * Q(-b/a) + R = R となるので
R = P(-b/a) として P(-b/a) を求めれば 商Q(x) がどんな形であるか知らなくても Rを求めることができる ということです。
よくある問題 で P(x) を (x-1) で割ったときの余りが 1 といったケースでは
P(x) = (x - 1)Q(x) + R とすれば x=1 を入れたとき
P(1) = (1 - 1)Q(1) + R = 0 * Q(1) + R = R となるので R = P(1) として求めることができます。
すみません。とても遅くなりました。
ありがとうございます。
まずこの定理の意義が理解できていなかったので、助かりました。ありがとうございました😭
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すみません。とても遅くなりました。
もし、両者(割る数=0の時のxの値と、商=0の時のxの値)が等しくないのであれば、例えば、両者がx=a,x=b(a≠b)だったとすると、あまりがp(a)であるのも正しく、p(b)であるのも正しいということになるので、あまりが二つ存在してしまうのでは？と思ってしまいました。
明らかにおかしいのですが、何が原因でこういう考えに辿り着いてしまうのかがわかりません。何か気づける点はあるでしょうか？🙇♂️