Question

まさと

(イ)の(i)までは分かるのですが、(ⅱ)が分かりません。
なぜ⑤かつ⑥の場合分けが必要なのですか？

のとき
習166 0の方程式 cos20 +2ksin0 + k-4=0 (0<0ハz)
のが異なる2つの解をもつとき, k
の値の範囲を求めよ。
*2倍角の公式
cos20 = 1-2sin°0 より
(1-2sin°0) +2ksin0+1k-4= 0
2sin°0-2ksin0-k+3=0
らの
2t°-2kt -k+3=0
2
sin0 = t とおくと
0S0ST より 0StS1であり,t= sin0 を満たす0は
0St<1 のとぎき2個,t=1のとき1個存在する。
よって, 方程式①が 0S0<π の範囲に異なる2つの解をもつのは、
tの方程式2が 0 <t<1 の範囲において, 実数解をただ1つもつと
きである。
S(0) = 2"-2ktーk+3 とおく。
Bが
がえ

ソ=2t°-2kt-k+3 y=f(t) のグラフにお
(ア) 2が0<t<1 において重解をもつとき
SO=20-)-
0s<1
k?
ーk+3 より
2
て,0<軸く1であり、
(頂点y座標)=0 であれ
ばよい。
k
3
t
k
2
2
かつ
ーk+3 = 0
2
3より
のより +2k-6=0 を解いて
0<k<2
k= -1±/7
す
メ-1-7<0,
0S-1+/7 <2
よって
k= -1+/7
(イ) 2 が0St<1 において重解でない解を1つ
だけもつとき
(i) f(0)· f(1) <0 より
(-k+3)(-3k+5) <0
(k-3)(3k-5)<0
1f(0)とf (1) が異符号た
らば,0くt<1の範囲に
f(t) = 0 となる解があ
る。
5
くんく3
3
よって
0
(i) f(0) = 0
5
(i)はt=0 で重解でな
い解をもち,0く<1に
は解をもたない場合であ
かつ
k
く0
f(1) <0 または 軸
2
…6
る。
⑤より
6より
ーk+3=0 すなわち k=3
-3k+5<0 または k<0
5
または k<0
3
すなわち
k>
よって
k=3
(ア),(イ)より
k= -1+/7,
5
くkS3
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たこ焼き

(i)では、何をしているかというと、f(0)<0かつf(1)>0　←解説の上のような図になる。
　　　　　　　　　　　　　　と、f(0)>0かつf(1)<0　←解説の下のような図になる。
の場合、すなわち、t=0とt=1の間、すなわち、0<t<1に重解でない解を1つだけもつ(θは2つですよね)場合のkの範囲を考えてますよね。

でも、問題は0≦t＜1の間に重解でない解を1つだけもつ、かつt=1に解を持たない場合のkの範囲を求めないといけません。(0≦t＜1の間に重解でない解を1つだけもち、かつt=1に解を持つと解すなわち、θは3つになってしまいますよね)。
すなわち、t=0の時に重解でない解を一つもち、もう１つが0≦t≦1の外にある場合も、今回の答えになります。
すなわち、f(0)=0かつもう１つが0≦t≦1の外にある場合も、今回の答えになります。
画像の上のようになる、すなわち、f(0)=0かつもう１つの解がt<0の範囲にある場合の条件は、
　　f(0)=0かつ軸<0
画像の下のようになる、すなわち、f(0)=0かつもう１つの解が1＜tの範囲にある場合の条件は、
　　f(0)=0かつf(1)＜0

以上より、(イ)の(ii)の条件(t=0に解をもつ場合の条件)は、f(0)=0かつ軸<0もしくはf(0)=0かつf(1)＜0　

分からなければ質問してください

まさと

わかりました！ありがとうございます！