まず文章全体を考えて、彼女は"たくさんの"キャリアを貧困の人たちのために費やしたんですよね、だから3番のevery はまず消えます。
次はカッコの後のofに注目して下さい。many ofとは言いませんよね？many はそれだけでその後の名詞を説明する役割を果たすからです。(manyも消えます)
残ったのがmuchとlotですが、このlotに注目！単数になっていますよね。この場合、a lot ofというのを聞いたことがあると思いますが、aをつけなければなりません。aがないのであれば、lots ofのように、複数にしなければなりません。ここではa がないので、これも消えます。
答えはmuchです！
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