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(1)
奇数になるのは一の位が1か3の時。
一の位が1の時、百の位にくるのは2,3,4の3通り。
十の位にくるのは百の位で使わなかった残り2つと0の3通り。
よって一の位が1となる3桁の整数は3×3の9通り。
一の位が3の時も同じとなり9通りで計18通り。
よって奇数となる3桁の整数は18個。
(2)
3桁の整数をABC(百の位=A,十=B,一=C)と表すと、ABC=100A+10B+Cとなる。
(7×14)A+7Bは7の倍数であるから、残りの2A+3B+Cが7の倍数であれば良い。
A=1の場合、3B+Cが5または12であれば7の倍数となる。
BとCは0,2,3,4の何かであるから、
B=4,C=0の場合のみ条件を満たす。
よって百の位が1の場合は140のみが7の倍数である。
A=2の場合、3B+Cが3または10。
BとCは0,1,3,4の何かであるから、
B=0,C=3、B=1,C=0、B=3,C=1
の場合に条件を満たす。
よって百の位が2の場合は203、210、231の3つ。
A=3の場合、3B+Cが1または8。
BとCは0,1,2,4の何かであるから、
B=0,C=1の場合のみ条件を満たす。
よって百の位が3の場合は301のみ。
A=4の場合、3B+Cが6または13。
BとCは0,1,2,3の何かであるから、
B=1,C=3、B=2,C=0の場合に条件を満たす。
よって百の位が4の場合は413と420。
以上より7の倍数となる3桁の整数は、
140,203,210,231,301,413,420の7個。
ありがとうございます！！