Question

んにゃ

確率の問題です。
考え方も含めて解説して頂けるとありがたいです。

[問題
(2, F, P)を確率空間、X:2→ R を実数値確率変数とし、μは
4(B) = P(X-'(B))(BE B(R))
によって定義されるものとする。Aj, A2,
E B(R) は A,n A; = 0 (i+j) を満たすとき、
次の問いに答えよ。ただし、BEB(R) に対して、X-'(B) = {o €£; X(o) E B} とする。
(1) X-'(A))nX-(A,) = © (i+j) が成り立つことを示せ。
(2) X-(UA,) = Ux-(A,) が成り立っことを示せ。
n=1
n=1
UA。
2u(A,)が成り立つことを示せ。
三
\n=l
n=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

(1)と(2)は逆写像の基本的な性質です。
証明も大学1年レベルですので、難しくありません。

(3)は(1)と(2)の結果、及びPのσ-加法性から従います。

んにゃ

(1)はこれでは不十分ですか？

Tak

個人的には問題ないと思います。

1行目から2行目は基本的な逆像の性質を使っていますが、大学3・4年レベルではもはや自明にしてもいいかなと思います。
証明も簡単ですしね。

んにゃ

ありがとうございます！

んにゃ

何度もすみません。
(3)を解く時にどのように(2)を利用しますか？

Tak

μ(∪A_i) = P(X^-1(∪(A_i))) = P(∪X^-1 (A_i))

ですね。

Tak

(1)からX^-1(A_i) (i = 1, 2, …) は互いに素なので、Pのσ-加法性を使えばいいです。

んにゃ

ありがとうございます。