接線の方程式
377
175 直交する2曲線
heck
Aaos3
1000の曲線 y-
「右の図のように, 2つの曲線 y=f(x),
y=g(x)が共有点をもち,その点におけるそれ
ソ=Vx, y=ear s
が直交するようにaの値を定めよ、
均値
え方
それの接線が互いに垂直に交わるとき、
|2つの曲線は直交する という、
/y=f(x)
33
姿線
共有点のx座標をtとおいて,次のことに着目する。
y=g(x)
点を共有している
F(t)=g(t))
2つの曲線 y=Vx 0, y=e"x ②の共有点の
x座標をtとおく、
f(x)=x とすると,f(x)=。たより,①の共有点
接線どうしが直交する
(f(t)g(t)=-1)
m
m。
レートより
強関
となる。
然
合
x)
) 2Vx
1 (eー月9
の動世平
bge=.logt-0
1+gす持 厳
における接線の傾きは,
f(t)=2t
, g'(x)=aeae より, ②の共有点に
g'(t)=aea
g(x)=e" とすると,
おける接線の傾きは,
0と2の曲線が直交するのは,共有点における接線が直
交するときであるから,
(t).g'(t)=-1
となり
1 たして。
2直線が垂直に交わ
1
*aeat=-1
るとき,2直線の傾
きをm, m' とすると,
より,
2t
また,①, 2より,
mm'=-1
共有点の座標は,O
より,(t, VE),
2より,(t, e")で
VE =et
これを③に代入して,
第6章
=-1
*av
2t
54=-1 より。
y=Vx/
49
これが一致する。
a=-2 >
逆に a=-2 のとき,④を満た
す共有点(t, /E)が存在し,③も
満たす。
よって、 ーー2
Focus
さる
y=e-2x
ー 7
2つの曲線 y=f(x), y=g(x) が直交する
2つの曲線の共有点におけるそれぞれの接線が互いに直交する
共有点のx座標をtとすると,f(t)=g(t), f'(t).g'(t)=-1
を
