Question

佐藤

｢f′が奇関数ならばfは偶関数である｣という命題は正しいですか？
正しいのだったらできればなぜそうなのか証明をお願いしたいです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

f(x)=x^(-2)+1 (x>0のとき), x^(-2) (x<0のとき)
のとき
f'(x)=-2x^(-3)
となる。
これが反例になる。

この例ではx=0で関数が途切れている(定義されていない)ことを利用して、いわゆる積分定数をx>0のときとx<0で異なる値に設定しています。

佐藤

f'(x)=-2x^(-3)って奇関数じゃないですか？

Crystal Clear

はい。そうです

佐藤

だったら命題が正しいことになりませんか？

Crystal Clear

私が挙げた例は、f'が奇関数であるのにfが偶関数でない例になっています。
f'(x)=-2x^(-3)は奇関数です。

佐藤

f(x)=x^(-2)+1 は偶関数じゃないですか？

Crystal Clear

f(x)=x^(-2)+1 (x>0のとき), x^(-2) (x<0のとき)
これで定義された関数fは偶関数ではありません。絵を描いてみればわかります。

佐藤

それって命題に対する答えとしてセーフなんですかね？

Crystal Clear

反則的ですが、命題では関数fについて何ら条件を課していないので、私が挙げたような関数も含まれていると考えます。

佐藤

なんか答えは正しいになるっぽいんですけど、そういう反則的なのをなしとしたらどうなるかとかは分かりませんか？

Crystal Clear

fの定義域が実数全体であれば、命題は真です。

g'=0のときg=cost.が言えるかどうかは、gの定義域に穴があるかどうかで変わります。これはド・ラームコホモロジーの一番簡単な例です。数学的には重要なことなので、もしこれが課題か何かならば、問題に不備があることを指摘して解答した方がいいと思います。

佐藤

分かりました。ありがとうございます！