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数学I·数学A
第3問~第5問は, いずれか2問を選択し, 解答しなさい
数学I数学A
第4問 (選択問題)
太郎:0をxについての2次方程式とみると
(配点 20)
*+2(y-1)x+2ay+2by+c=0 ……0
太郎さんと花子さんは次の問題について話をしている。二人の会話を読んで,
となるね。
あとの問いに答えよ。
最初に,a=1, 6=-1, c=-12 のときについて考えてみよう。 このと
き,方程式0は
問題 a, b, cは整数とする。
x+2(y-1)x+2y-2y-12=0 ……)
x+2xy+2ay?-2x+26y+c=0 ①
となり,この方程式を満たす実数xが存在するとき
を満たす自然数x, yの組はa, b, cの値によってどのようになるか。
(数学I.数学A第4問は次ページに続く。)
x=-y+
ア
土
イウ-y……③
となるね。
花子:xが自然数ということは実数なので, ③の,
イウ
-yeは実数でなけれ
ばいけないね。 つまり,
イウ-yが0以上となることから, yのとり
得る値の範囲がわかるので, この範囲の自然数yで, ③のxが自然数とな
るものを求めればいいんだね。
太郎:なるほど、そうすると, ②を満たす自然数x, yの組は
エ
y=
オ
x=
と求まるね。
オ
に当てはまる数を求めよ。
ア
(数学I·数学A第4問は次ページに続く。)
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数学I数学A
数学I数学A
カ
コサシ
セ
太郎:次に,a=-4, b=2, c=-12 のときについて考えてみよう。 このとき,
テ
に当てはまる数を求めよ。 また。
ス
については, 最も適当なものを, 次のO0~③のうちから一つ選べ。
方程式O'は
x+2(y-1)x-8y? +4y-12 = 0 ①
ASB かつ A-Bは偶数
となり、この方程式を解くと
0 ASB かつ A-Bは奇数
AZB かつ A-Bは偶数
土(9y-6y+13 …)
A2B かつ A-Bは奇数
x=-y+
ア
となるね。先ほどと同じように考えると,9y°-6y+13 は0以上でなけれ
ばならないのだけれど,今回はyのとり得る値の範囲を絞り込むことがで
きないよ。
花子:このときは、⑤のxが自然数であることに目をつければいいんじゃないかな。
ア
は整数だから,9y?-6y+13 も整数にならないといけないんだ。
つまり9y?-6y+13 = m (mは0以上の整数)という形にならなければ
ならないね。
9y?-6y+13 =
カ
キ
クケ
であることに注意すれば,このとき
カ
yー
キ
カ
yー
キ
ーm)=|コサシ
が成り立つね。ここで
A=
カ
キ
+m, B=
カ
yー
キ
-m
とおくと,2数 A, Bには
ス
などの特徴があるね。
太郎:y=
セ
ソ
の値が得られるね。
m=
花子:このとき, x=
タ
となり,確かに解が見つかったよ。
太郎:本当だ。あとは,こんな考え方はどうかな。
x+2xy-8y? -2x+4y
-(x-| チ x
テ
だから,この因数分解を利用しても解が求まるね。
(数学I.数学A第4問は次ページに続く。)
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