⑴t=2^x+2^(2-x) とおく。
2^x, 2^(2-x) はともに正であるから，相加・相乗平均の大小関係より
t=2^x+2^(2-x)≧2√(2^x･2^(2-x))=4.
t は連続で， x=1 のとき等号成立するから t≧4.
また， y=4^x+4^(2-x)-12(2^x+2^(2-x))+9
⇔y=(2^x+2^(2-x))²-12(2^x+2^(2-x))+1
⇔y=t²-12t+1
⇔y=(t-6)²-35.
t≧4 より， y は t=6 のとき最小値 -35 をとる。
また，このとき， 2^x=u (u>0) とおくと，
2^x+2^(2-x)=6
⇔2^x+4/(2^x)=6
⇔u+4/u=6
⇔u²-6u+4=0
∴u=3±√5. この 2 解はともに u>0 を満たす。
したがって， y が最小値をとるときの x の値は x=log₂(3±√5).
⑵与えられた関数を f(x) とおく。
この方程式が解を 4 つもつためには，関数 y=f(x) のグラフと直線 y=a が 4 つの共有点をもつことが必要十分である。
よって，⑴の関数 y=(t-6)²-35 のグラフが直線 y=a と頂点以外に 2 つの共有点をもつ。
ゆえに， -35<a<-31.
