Question

😇😇😇

複素数と方程式の問題です。
なぜ？って書いてあるところがどのようにしてこうなったのか分かりません。
教えていただきたいです🙏

63
難易度 ★★
目標解答時間 12分
SELECT
90
二つの整式f(x) = x° +ax+b,g(x) = x-c?ー(2c2-5)x=10c があり,方程式J)
=1+2i を解にもつ。ただし, a, b, cは実数の定数とする。
三
(1) a=
ア
6=Lイウ]であり、方程式 f(x) = 0 の x=1+2i 以外の解は xー
liである。
カ
キ
エオ
|c) = 0 であるから,g(x) = (x-|ク]c)(x° +
(3) 二つの方程式 f(x) = 0 と g(x) = 0 が共通な解を一つだけもつとき,c=
(2) g(
ク
ケ
x+
と因数分解できる。
コ
サシ
または
ス
であり,共通な解を二つだけもつとき,c=[ソタ
C=
セ
である。
(公式·解法集 68
( 0サ

リ=0がx==1+2i を解にもつから f(1+2i) = 0
ゆ
12つの方程式の共通な解
ければならない
二着目すると
すなわち
(1+2i)+a(1+2i)+6=0
(1+6i-12-8)+a(1+2)+6=0
(atb-11)+(2a-2)i=0
bは実数であるから
[atb-11 = 0
| 2a-2=0
ればよいことが
OND
型ると次のよう
B0042
A
友
p,qが実数のとき
これを解いて a=1, 6= 10
このとき f(x) = x+x+10 となる。
で f(-2) =0 となるから,f(x) は x+2 を因数にもち 0 あるから, x=1+2i の共役な複
ofcx) = (x+2) (x°-2x+5) ……0
とって、f(x) = 0 の解は x=-2, 1±2iであるから,
2(a-1)x-a
p+qi=0→p=0 かつ q=0
(a-1)x
f(x) = 0 は実数係数の方程式で
-2x
素数であるx=1-2i も解である。
2ax-a
2ax-a
(領中)
=1+2i 以外の解は x=-2, 1-2i <B)
0a(2c) = 8c°-4c°-2c(2c°-5)-10c=D0 であるから, g(x) はx-2c
g(x) をx-2cで割ると次のよう
0
になる。
* +cx
+5
を因数にもつ。
x-2c)x -cxー (2c'-5)x-10c
よって g(x) = (x-2c)(x°+cx+5) ②
3)まず,共通な解が1つだけのときを考える。
f(x) = 0, g(x) =0 はいずれも実数係数の方程式であるから, その共通
な解が x=1+2i と仮定すると, x=1-2i も共通な解となり不適である。
また,共通な解が x=1-2i と仮定しても同様に不適である。 … (※)
x-2cx?
cx°-(2c°-5)x
-2c°x
cx?
5x-10c
コロ
5x-10c
0
0-
Point
ときの会は停 O
したがって、共通な解が1つだけあるとすれば x=-2 である。
よって g(-2) =0 となるから, ②より
(-2-2c)(4-2c+5) = 0
(D) 0
共通な解が少なくとも2つあること
になってしまい, 「1つだけ」 とい
う条件に反する。
C=-1 のとき
g(x) = (x+2) (x°ーx+5)
=0 の2
と食き (c+1)(2c19) = 0
9
c=-1,
3
30 となり、g(x) = 0 の解は
1土、19i
2
C
次に,共通な解が2つだけのときを考える。
(※)と同様に、共通な解が x=-2 と 1+2i, または, x=-2 と1-2i
となることはない。
x=-2,
Point
のとき
C=
るしたがって、,共通な解が2つだけであるとすれば x=1±2i となる。
Point
9(x) = (x-9)(x+)(x+2)
ことに
大 30 み
なぜ?
となり,g(x) = 0 の解は
よって、0, 2より xー2.x+5=x"+cx+5
5
-2
x=9, -
これがxに関する恒等式であるから c=-2
であるから, いずれの場合も適する。
共通な解が3つとなってしまい,
「2つだけ」という条件に反する。
G
c=-2 のとき
Point
fc) = 0. g(x) =0の共通な解が, x=1+2i のみ, あるいは x=1-2i
のみとなることはない。いずれも実数係数の方程式であるから. 数
解を1つもてばその共役な複素数も解になるからである。
g(x) = (x+4) (x?-2x+5)
となり,g(x) = 0 の解は
x=-4, 1±2i
であるから,適する。
103
ゼと塩明