Question

ぐっちー

教えてください。

14 秋o Ly←q1 真
pが素数であり, :の方程式
+ pzー(4p+5)r-p=0 to Ly 1
が整数解をもつとき, pの値を求めよ, Lo-q [
p=3
開技 L 1
真対時技 Lpq]真無
詳
年 1
お時数 Lpql 却 Lp L
真限女 Lpql L1 Lp
会調状 Lp=q7.0 Lp Lp

Answer 1

りりー

2次方程式の解と係数の関係ってありましたよね。あれと同じ原理で3次方程式の解と係数の関係があります。
作り方は、2次と同じです。Ax^3+Bx^2+Cx+D＝A(x−α)(x−β)(x−γ)、、、、(A、B、C、D は実数の定数、A≠0、α、β、γはこの3次方程式の3解とします。)
としてそれぞれ恒等式より比較します。
するとα+β+γ＝−B/A、αβ＋βγ＋γα＝C/A、αβγ＝−D/A、が得られます。
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この問題では、解の個数が不明(少なくとも１個)なので、αとβとγはどれも異なるわけではないです。(ここで解と係数の関係より、)
α、β、γのどれも整数なので、αβγ＝pよりα、β、γのどれかがp又は−pです。これは必要条件。
α、β、γのどれかがpのとき、x^3+px^2−(4p＋5)x−p＝0より、
2p^3−4p^2−6p＝0
2p(p^2−2p−3)＝0
よってp＝0又は−1又は3
なのでp＝3です。
これをx^3+px^2−(4p＋5)x−p＝0に代入すると、
x^3＋3x^2−17x−3＝0です。これは、
(x−3)(x^2+6x+1)＝0なので、これが整数解を持つのでp＝3は必要十分な解とわかります。
α、β、γのいずれかが−pのとき、方程式は、p＝−1となり、この解は不適です。
よってp＝3
もしかすると間違ってるかもなので、鵜呑みにしないでくださいね。笑